Si diceva Fibonacci? Eccovi contentati

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Altro che storie! Non si tratta così un uomo innamorato! Non ci si può permettere di ferire i sentimenti di un cuore in preda ai palpiti inconsulti dell\'amore... eh no, non si fa! Pretendo delle scuse formali, altrimenti...
<BR>
<BR><font color=blue><!-- BBCode Start --><B>Problema i</B><!-- BBCode End -->: determinare il complesso degli r€R per i quali la somma infinita sum[k=1...+inf] F<sub>k</sub>/r<sup>k</sup> è convergente e calcolarne quindi il valore, essendo {F<sub>k</sub>} la successione dei numeri di Fibonacci.</font>
<BR>
<BR>E vediamo di smetterla con questo atteggiamento da superdonna! Non funziona, anzi non fa altro che indispettirmi e i risultati sono sotto gli occhi di tutti! Hai voluto la bicicletta... adesso pedala, tessssssoro!
<BR>
<BR><font color=green><!-- BBCode Start --><B>Problema ii</B><!-- BBCode End -->: dimostrare che, per ogni n intero positivo:
<BR>
<BR><center>F<sub>n</sub> = prod[k=0...E((n-1)/2)] (3+2cos(2kPi/n))</center>
<BR>ove {F<sub>k</sub>} indica sempre la successione dei numeri di Fibonacci.
<BR></font>.
<BR>
<BR>EDIT: aggiungo (siccome presumo di essere l\'unico a utilizzare certe notazioni...) che E(-) denota qui la funzione che ad ogni x€R associa la sua parte intera bassa. Grazie a ma_go per la sua puntuale osservazione! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 06-02-2004 13:47 ]
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J4Ck202
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Messaggio da J4Ck202 » 01 gen 1970, 01:33

Mi butto sul secondo.
<BR>Prendiamo il polinomio (x^n - 1)/(x - 1) e disegnamo le
<BR>sue radici sul piano di Gauss. Per ogni radice nel
<BR>\"semipiano positivo delle ordinate\" scriviamo
<BR>il polinomio (x - quellaradice)(x - ilconiugatodiquellaradice).
<BR>Il polinomio originale sarà il prodotto di questi polinomi.
<BR>Compare una produttoria con gli indici giusti e dei coseni.
<BR>Basta aggiustare opportunamente la x per ricavare l\'identità
<BR>proposta (salta fuori Binet).
<BR>

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Jack, tu sei la mia disperazione! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
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khristian
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Messaggio da khristian » 01 gen 1970, 01:33

Suppongo sia utilissima la formula espressa:
<BR>
<BR>F(n) = 1/sqrt(5)*{ [ (1+sqrt(5))/2 ]^n - [ (1-sqrt(5))/2 ]^n }
<BR>
<BR>Ci pensero\' a breve(ormai lunedi\')
<BR>
<BR>K.

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Problema i.
<BR>La serie converge per:
<BR>
<BR>|r|>(1+sqrt(5))/2
<BR>
<BR>La sua somma e\' :
<BR>
<BR>S=(r)/(r^2-r-1)
<BR>
<BR>Spero di non aver ....pedalato invano.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 06-02-2004 20:48 ]

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

OK, Karl! Molto bene! Ma adesso (se non ti è troppo disturbo...) mi piacerebbe conoscere i tuoi argomenti! Sarà mica che lo spirito santo si è scordato di suggerirti la via? Su, rendimi felice! Passi per l\'insieme di convergenza, ma mi piacerebbe tanto sapere cosa ti sei inventato per sommare la mia serie... <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif">
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euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

...anche perché, ragazzo mio, i nostri risultati non coincidono, per cui... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Per la convergenza non c\'e\' molto da spendere (basta qualche
<BR>criterio di convergenza delle serie:mi vergogno a dirlo ad uno
<BR>del tuo calibro).
<BR>Per la somma mi sono avvalso di un procedimento abbastanza usuale
<BR>con le serie tra i cui coefficienti esiste qualche relazione di ricorrenza.
<BR>Dunque :
<BR>Poniamo 1/r=t ed osserviamo che ,indicando con S la somma supposta esistente,si ha (non uso sum):
<BR>(1) S=F1*t+F2*t^2+F3*t^3+F4*t^4+F5*t^5+........
<BR>moltiplico ora per t:
<BR>(2) S*t=F1*t^2+F2*t^3+F3*t^4+F4*t^5+F5*t^6+........
<BR>moltiplico ancora per t:
<BR>(3) S*t^2=F1*t^3+F2*t^4+F3*t^5+F4*t^6+F5*t^7+........
<BR>Ora dalla (1) sottraggo la (2 ) e la (3):
<BR>S-S*t-S*t^2=F1*t+(F2-F1)*t^2+(F3-F2-F1)*t^3+(F4-F3-F2)*t^4+.....
<BR>ovvero:
<BR>S*(1-t-t^2)=t----->S=t/(1-t-t^2)
<BR>Da qui ritornando alla r:
<BR>S=r/(r^2-r-1)
<BR>Mi accorgo solo adesso di aver fatto un banalissimo errore di calcolo
<BR>nella prima risposta!! Correggo subito.
<BR>(Qualche pedalata e\' andata storta)
<BR>Saluti.
<BR>
<BR>
<BR> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 06-02-2004 21:01 ]

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-06 20:47, karl wrote:
<BR>Per la convergenza non c\'e\' molto da spendere (basta qualche
<BR>criterio di convergenza delle serie: <!-- BBCode Start --><B>mi vergogno a dirlo ad uno
<BR>del tuo calibro</B><!-- BBCode End -->).
<BR>Per la somma mi sono avvalso di un procedimento abbastanza usuale
<BR>con le serie tra i cui coefficienti esiste qualche relazione di ricorrenza.
<BR>Dunque :
<BR>Poniamo 1/r=t ed osserviamo che ,indicando con S la somma supposta esistente,si ha (non uso sum):
<BR>(1) S=F1*t+F2*t^2+F3*t^3+F4*t^4+F5*t^5+........
<BR>moltiplico ora per t:
<BR>(2) S*t=F1*t^2+F2*t^3+F3*t^4+F4*t^5+F5*t^6+........
<BR>moltiplico ancora per t:
<BR>(3) S*t^2=F1*t^3+F2*t^4+F3*t^5+F4*t^6+F5*t^7+........
<BR>Ora dalla (1) sottraggo la (2 ) e la (3):
<BR>S-S*t-S*t^2=F1*t+(F2-F1)*t^2+(F3-F2-F1)*t^3+(F4-F3-F2)*t^4+.....
<BR>ovvero:
<BR>S*(1-t-t^2)=t----->S=t/(1-t-t^2)
<BR>Da qui ritornando alla r:
<BR>S=r/(r^2-r-1)
<BR>Mi accorgo solo adesso di aver fatto un banalissimo errore di calcolo
<BR>nella prima risposta!! Correggo subito.
<BR>(Qualche pedalata e\' andata storta)
<BR>Saluti.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>OK, Karl! Più che ottima, direi! In quanto alle pedalate storte, beh mi par che faccian poco testo, per cui non v\'è motivo di flagellarsi inutilmente, giusto? Piuttosto, ti prego di non usarmi certe espressioni... non le merito! Non son poi così <!-- BBCode Start --><I>dotato</I><!-- BBCode End -->, sai? Per il mio caso... basta più un righello che un vero e proprio calibro... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>Ciò detto, non mi resta che ricambiarti nel saluto. Dunque... ciao!!!
<BR>
<BR>Salvo alias euler_25 <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Vorrei proporre quest\'altro (forse + facile): n€N e con bin(a,b) intendendo il binomiale \"b su a\".
<BR>
<BR>sum bin(n-i,i-1) = F<sub>n</sub>
<BR>
<BR>Xkè nn risolvete quello della produttoria (e anke quello ke ho proposto sull\'altro forum) ? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>Tnx Euler_25..
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 06-02-2004 22:29 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 06-02-2004 22:55 ]

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

op!

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