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Altro che storie! Non si tratta così un uomo innamorato! Non ci si può permettere di ferire i sentimenti di un cuore in preda ai palpiti inconsulti dell\'amore... eh no, non si fa! Pretendo delle scuse formali, altrimenti...
 
 Problema i: determinare il complesso degli r€R per i quali la somma infinita sum[k=1...+inf] Fk/rk è convergente e calcolarne quindi il valore, essendo {Fk} la successione dei numeri di Fibonacci.
 
 E vediamo di smetterla con questo atteggiamento da superdonna! Non funziona, anzi non fa altro che indispettirmi e i risultati sono sotto gli occhi di tutti! Hai voluto la bicicletta... adesso pedala, tessssssoro!
 
 Problema ii: dimostrare che, per ogni n intero positivo:
 
 <center>Fn = prod[k=0...E((n-1)/2)] (3+2cos(2kPi/n))</center>
 ove {Fk} indica sempre la successione dei numeri di Fibonacci.
 .
 
 EDIT: aggiungo (siccome presumo di essere l\'unico a utilizzare certe notazioni...) che E(-) denota qui la funzione che ad ogni x€R associa la sua parte intera bassa. Grazie a ma_go per la sua puntuale osservazione! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 06-02-2004 13:47 ]

Mi butto sul secondo.
 Prendiamo il polinomio (x^n - 1)/(x - 1) e disegnamo le
 sue radici sul piano di Gauss. Per ogni radice nel
 \"semipiano positivo delle ordinate\" scriviamo
 il polinomio (x - quellaradice)(x - ilconiugatodiquellaradice).
 Il polinomio originale sarà il prodotto di questi polinomi.
 Compare una produttoria con gli indici giusti e dei coseni.
 Basta aggiustare opportunamente la x per ricavare l\'identità
 proposta (salta fuori Binet).

Jack, tu sei la mia disperazione! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

Suppongo sia utilissima la formula espressa:
 
 F(n) = 1/sqrt(5)*{ [ (1+sqrt(5))/2 ]^n - [ (1-sqrt(5))/2 ]^n }
 
 Ci pensero\' a breve(ormai lunedi\')
 
 K.

Problema i.
 La serie converge per:
 
 |r|>(1+sqrt(5))/2
 
 La sua somma e\' :
 
 S=(r)/(r^2-r-1)
 
 Spero di non aver ....pedalato invano. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 06-02-2004 20:48 ]

OK, Karl! Molto bene! Ma adesso (se non ti è troppo disturbo...) mi piacerebbe conoscere i tuoi argomenti! Sarà mica che lo spirito santo si è scordato di suggerirti la via? Su, rendimi felice! Passi per l\'insieme di convergenza, ma mi piacerebbe tanto sapere cosa ti sei inventato per sommare la mia serie... <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif">

...anche perché, ragazzo mio, i nostri risultati non coincidono, per cui... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Per la convergenza non c\'e\' molto da spendere (basta qualche
 criterio di convergenza delle serie:mi vergogno a dirlo ad uno
 del tuo calibro).
 Per la somma mi sono avvalso di un procedimento abbastanza usuale
 con le serie tra i cui coefficienti esiste qualche relazione di ricorrenza.
 Dunque :
 Poniamo 1/r=t ed osserviamo che ,indicando con S la somma supposta esistente,si ha (non uso sum):
 (1) S=F1*t+F2*t^2+F3*t^3+F4*t^4+F5*t^5+........
 moltiplico ora per t:
 (2) S*t=F1*t^2+F2*t^3+F3*t^4+F4*t^5+F5*t^6+........
 moltiplico ancora per t:
 (3) S*t^2=F1*t^3+F2*t^4+F3*t^5+F4*t^6+F5*t^7+........
 Ora dalla (1) sottraggo la (2 ) e la (3):
 S-S*t-S*t^2=F1*t+(F2-F1)*t^2+(F3-F2-F1)*t^3+(F4-F3-F2)*t^4+.....
 ovvero:
 S*(1-t-t^2)=t----->S=t/(1-t-t^2)
 Da qui ritornando alla r:
 S=r/(r^2-r-1)
 Mi accorgo solo adesso di aver fatto un banalissimo errore di calcolo
 nella prima risposta!! Correggo subito.
 (Qualche pedalata e\' andata storta)
 Saluti.
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 06-02-2004 21:01 ]

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-02-06 20:47, karl wrote:
 Per la convergenza non c\'e\' molto da spendere (basta qualche
 criterio di convergenza delle serie: mi vergogno a dirlo ad uno
 del tuo calibro).
 Per la somma mi sono avvalso di un procedimento abbastanza usuale
 con le serie tra i cui coefficienti esiste qualche relazione di ricorrenza.
 Dunque :
 Poniamo 1/r=t ed osserviamo che ,indicando con S la somma supposta esistente,si ha (non uso sum):
 (1) S=F1*t+F2*t^2+F3*t^3+F4*t^4+F5*t^5+........
 moltiplico ora per t:
 (2) S*t=F1*t^2+F2*t^3+F3*t^4+F4*t^5+F5*t^6+........
 moltiplico ancora per t:
 (3) S*t^2=F1*t^3+F2*t^4+F3*t^5+F4*t^6+F5*t^7+........
 Ora dalla (1) sottraggo la (2 ) e la (3):
 S-S*t-S*t^2=F1*t+(F2-F1)*t^2+(F3-F2-F1)*t^3+(F4-F3-F2)*t^4+.....
 ovvero:
 S*(1-t-t^2)=t----->S=t/(1-t-t^2)
 Da qui ritornando alla r:
 S=r/(r^2-r-1)
 Mi accorgo solo adesso di aver fatto un banalissimo errore di calcolo
 nella prima risposta!! Correggo subito.
 (Qualche pedalata e\' andata storta)
 Saluti.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 OK, Karl! Più che ottima, direi! In quanto alle pedalate storte, beh mi par che faccian poco testo, per cui non v\'è motivo di flagellarsi inutilmente, giusto? Piuttosto, ti prego di non usarmi certe espressioni... non le merito! Non son poi così dotato, sai? Per il mio caso... basta più un righello che un vero e proprio calibro... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 Ciò detto, non mi resta che ricambiarti nel saluto. Dunque... ciao!!!
 
 Salvo alias euler_25 <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

Vorrei proporre quest\'altro (forse + facile): n€N e con bin(a,b) intendendo il binomiale \"b su a\".
 
 sum bin(n-i,i-1) = Fn
 
 Xkè nn risolvete quello della produttoria (e anke quello ke ho proposto sull\'altro forum) ? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 Tnx Euler_25..
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 06-02-2004 22:29 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 06-02-2004 22:55 ]

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