Successioni che non quadrano

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

eccovi un esercizio abbastanza impegnativo che potete fare come allenamento per domani.
 
 Consider two sequences (xn) and (yn) defined by x1 = 3, y1 = 4 and
 such that xn+1 = 3xn + 2yn and yn+1 = 4xn + 3yn for integral n >= 1.
 Show that neither sequence contains a perfect cube.
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 azz:ho cannato il titolo...volevo dire che non \"cubano\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 18-02-2004 17:39 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

uppo che sembra interesting, vediamo se c\'è qualche volonteroso

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

Io ci ho provato ma con scarsi risultati.
 Ho raggiunto soltanto le seguenti conclusioni: la successione Xn “contiene” solo numeri dispari. Se n è dispari tali numeri sono divisibili per 3. Se n è pari non saprei…. Yn “contiene” solo numeri pari divisibili per 4. Tutto qui… Infatti esistono sia cubi multipli di 3 che di 4. Esempio: 216.
 Bha.

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Aggiungo un qualcosa ma nn so se è utile: xn e yn sono sempre primi tra loro per qualsiasi n. Qualcuno risolva stà roba!

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Biagio?

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

mi fa piacere che abbiate ripreso l\'esercizio...per quel che mi riguarda quando ho visto l\'esercizio, credevo fosse piuttosto standard:
 -risolvere il sistema di equazioni in modo da ottenere xn e yn non dipendenti dai termini precedenti
 -usare qualche congruenza utile(tipo mod7, mod9...in sostanza quelle congruenze che hanno la phi di eulero multipla di 3)
 -arrivare ad un assurdo
 
 il fatto è che, una volta individuata la successione libera dai termini precedenti(quindi non definite per ricorsione) compaiono nelle formule le potenze di numeri irrazionali fratti, anche se poi per ogni n i numeri risultano interi.
 questo rende però complicato l\'utilizzo delle congruenze.
 
 spero di essere stato d\'aiuto a qualcuno... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

anch\'io ho trovato solo le cose di massimino.
 ho provato ad usare anche qualche congruenza (mod8 per Y e altre), ma con esiti nulli.
 biagio, perché consigli di provare quele congruenze che hanno la phi di eulero multipla di 3? che particolarità hanno?

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

un cubo è congruo a 0,1,-1 mod7/mod9
 
 (guardate gli ordini moltiplicativi e le loro proprietà sulle dispense del Gobbo) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 26-02-2004 21:07 ]

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-02-26 20:47, Biagio wrote:
 mi fa piacere che abbiate ripreso l\'esercizio...per quel che mi riguarda quando ho visto l\'esercizio, credevo fosse piuttosto standard:
 -risolvere il sistema di equazioni in modo da ottenere xn e yn non dipendenti dai termini precedenti
 -usare qualche congruenza utile(tipo mod7, mod9...in sostanza quelle congruenze che hanno la phi di eulero multipla di 3)
 -arrivare ad un assurdo
 
 il fatto è che, una volta individuata la successione libera dai termini precedenti(quindi non definite per ricorsione) compaiono nelle formule le potenze di numeri irrazionali fratti, anche se poi per ogni n i numeri risultano interi.
 questo rende però complicato l\'utilizzo delle congruenze.
 
 spero di essere stato d\'aiuto a qualcuno... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Mi serve una grossa mano: per me già il primo punto è difficile. Li chiamerai esercizi standard ma per me profano nn lo sono affatto. Per definire quella roba senza ricorsione ho provato 2 metodi ed in entrambi i casi mi sono usciti fuori una marea di calcoli. Dimmi se 1 dei 2 è giusto o indicami la maniera corretta (lo so che alla fine sarà la solita cavolata, ma..):
 1) funzioni generatrici (tempo fà mi ero letto il primo capitolo di un libro on-line da qualcuno suggerito su questo sito). Sembra ad occhio una via lunga ma accessibile;
 2) Equazioni alle differenze (fonte: un vecchio giornalino, appendice). Le equazioni da risolvere sarebbero:
 1]x^2=3x+2y;
 2]y^2=4x+3y;
 Risolvendo rispetto ad x si trova un\'equazione di 4° grado risolvibile. Poi dette a1,a2,a3,a4 le radici, immagino (imitando il giornalino) si debba impostare
 (xn)=k1*(a1)^n+k2*(a2)^n+k3*(a3)^n+k4*(a4)^n
 dare 4 valori alla n, vedere che xn ne vengono fuori e risolvere il sistema per trovare k1,k2,k3,k4 e quindi l\'espressione analitica della successione;
 
 Ho descritto meglio il secondo metodo perchè tra i 2 è quello che più probabilmente hai utilizzato, Biagio.
 Altrimenti, nn vedo come cavarmela. Non è che bisogna fare semplicemente un sistema tra le espressioni generali delle successioni? Ma così nn riesco a liberarmi di nulla...
 Cmq l\'esercizio è carino. Speriamo che sia anche istruttivo.<IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif">

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-02-27 13:48, info wrote:
 2) Equazioni alle differenze (fonte: un vecchio giornalino, appendice). Le equazioni da risolvere sarebbero:
 1]x^2=3x+2y;
 2]y^2=4x+3y;
 Risolvendo rispetto ad x si trova un\'equazione di 4° grado risolvibile. Poi dette a1,a2,a3,a4 le radici, immagino (imitando il giornalino) si debba impostare
 (xn)=k1*(a1)^n+k2*(a2)^n+k3*(a3)^n+k4*(a4)^n
 dare 4 valori alla n, vedere che xn ne vengono fuori e risolvere il sistema per trovare k1,k2,k3,k4 e quindi l\'espressione analitica della successione;
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 questo metodo non so se sia giusto, in ogni caso sarebbe decisamente lunghetto...(riguardo al primo non ho capito a cosa ti riferisci <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> )
 
 comunque, questi sistemi sono risolvibili nel modo standard,bisogna prima risolvere il sistema scrivendo ogni successione in modo indipendente dall\'altra, e credo si ottenga
 xn+1=6xn-xn-1
 yn+1=6yn-yn-1
 
 poi, volendo, si possono trovare le radici di
 x2-6x+1=0
 y2-6y+1=0
 
 da cui, essendo R1 e R2 le due radici delle due equazioni(che saranno chiaramente uguali)
 si ha che:
 xn=aR1n + bR2n
 yn=cR1n + dR2n
 
 dove a,b,c,d saranno trovati imponendo che la formula sia valida per x1,x2,y1,y2.
 
 quest\'ultimo passaggio però, come ho già detto, porta ad un\'espressione di xn e yn piuttosto complicata, dove compaiono molti radicali (avevo svolto i calcoli, ma ho perso il foglio...).
 
 per l\'analisi del problema, mi fermerei pertanto a
 
 xn+1=6xn-xn-1
 yn+1=6yn-yn-1
 
 poi vedete voi...
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 27-02-2004 14:19 ]

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-02-27 14:17, Biagio wrote:
 comunque, questi sistemi sono risolvibili nel modo standard,bisogna prima risolvere il sistema scrivendo ogni successione in modo indipendente dall\'altra, e credo si ottenga
 xn+1=6xn-xn-1
 yn+1=6yn-yn-1
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 27-02-2004 14:19 ]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Perchè quando ho provato a trovare una relazione simile mi veniva una equazione contenente xn,x(n-1),x(n-2),...,x1 ed ora, riporovandoci, mi viene in 2 secondi ??? Bah......
 Beh...ora ho trovato quella relazione ma il problema ora mi stà sulle balle. Chissà perchè??? (sarà perchè ho fatto la figura del cretino...ma no!).
 Cmq, se interessa:
 www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html
 per chi si vuole fare una cultura sulle funzioni generatrici
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 27-02-2004 18:59 ]

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Grazie mille cmq

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 
 On 2004-02-27 14:17, Biagio wrote:
 credo si ottenga
 xn+1=6xn-xn-1
 yn+1=6yn-yn-1
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 come hai fatto, che a me non riesce?

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Nn sono l\'unico, allora:
 x(n+1)=3*x(n)+2*y(n) [1]
 
 ci serve y(n), ma sappiamo dall\'altra relazione che:
 y(n)=4*x(n-1)+3*y(n-1) [2]
 
 ci serve quindi y(n-1) che nn possiamo trovare dalla relazione appena usata altrimenti arriveremmo ad una identità, avendo usato 2 volte la medesima relazione. Troviamo y(n-1) dalla prima relazione, scritta così:
 x(n)=3*x(n-1)+2*y(n-1) [3]
 
 Combinando 1 e 2:
 x(n+1)=3*x(n)+8*x(n-1)+6*y(n-1) [4]
 
 Combinando 4 e 3
 x(n+1)=3*x(n)+8*x(n-1)+3*x(n)-9*x(n-1)
 
 x(n+1)=6*x(n)-x(n-1)
 
 E dire che mi ero perso trovando relazione lunghissime contenenti solo elementi di una serie! Provi anche tu Cecco la medesima sensazione di ira??
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">

Alex85 · Messaggio da **Alex85** » 01 gen 1970, 01:33

x1=3 y1=4
 x2=17 y2=24
 
 x_(n+1) = 6x_n - x_(n-1)
 
 con l\'aiuto di scalpello e martello si ha
 <A HREF="http://qinah.altervista.org/varie/conti.txt" TARGET="_blank">http://qinah.altervista.org/varie/conti.txt</A>
 in sintesi:
 x mod 7 : (3 3 1) 3 3
 x mod 9 : (3 8 0 1 6 8 6 1 0 8 3 1 3

0 1
 
 y mod 7 : (4 3 0) 4 3
 y mod 9 : (4 6 5 6 4 0 5 3 4 3 5 0) 4 6
 
 quindi, poco di buono
 sempre che ho fatto bene i conti
 
 alex
 (dannati smilies

) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Alex85 il 28-02-2004 14:10 ]