Successioni che non quadrano

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

se non ho sbagliato i conti,
 xn = r1n + 2n,
 espressione notevolmente simmetrica, \"facilmente\" (se si ha voglia) esprimibili in funzione di r1+r2 = 6 e r1r2 = -1.
 ora, secondo me, facendo i conti qualcosa salta fuori...
 per gli yi, poi, si può considerare qualche congruenza tra somme e differenze degli y_i e x_i, non dev\'essere impossibile..
 manca solo la voglia!

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

a me viene
 
 xn=(r1n+r2n)/2
 
 ma potrei essermi sbagliato io
 
 sei sicuro che l\'espressione sia facilmente esprimibile in termini di somma-prodotto?
 io conosco una relazione di ricorrenza tra le somme di potenze simili, ma non ho mai visto una formula chiusa <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 28-02-2004 20:43 ]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

beh, certo... nessuna formula chiusa, ma suppongo che non sia impossibile trovare qualche relazione tra i binomiali e i cubi, o qualcosa del genere... comunque potrei aver dimenticato un fattore 1/2, è vero... non sono stato lì a cercare, mi ricordavo solo che avevano uno stesso fattore...
 
 by the way, altra cosa... si possono trattare (in qualche modo non impossibile) i radicali come interi... ora, non chiedetemi come, ma credo di sì. e credo che un qualunque universitario del I anno sappia anche illustrarci come.

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

in effetti la formula esatta è questa
 
 xn=[(3+2sqrt(2))n+(3-2sqrt(2))n]/2
 
 ma non sembra che aiuti più di tanto

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-02-28 20:56, ma_go wrote:
 credo che un qualunque universitario del I anno sappia anche illustrarci come.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Io non sono un universitario qualunque, quindi non sono tenuto ad illustare niente...... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Le relazioni esatte indicate da Talpuz possono essere ricavate cosi\':
 x(n+1)=3x(n)+2y(n)
 y(n+1)=4x(n)+3y(n)
 Moltiplichiamo la 2° relazione per una indeterminata k e sommiamo:
 x(n+1)+ky(n+1)=(3+4k)x(n)+(2+3k)y(n)
 Scegliamo ora k in modo che sia:
 2+3k=k(3+4k)------>k1=a e k2=-a (a=sqrt(2)/2)
 Avremo allora per k=a:
 1)x(n+1)+ay(n+1)=(3+4a)(x(n)+ay(n))
 da cui ,facendo variare n fino ad 1,moltiplicando membro a membro e
 sopprimendo i fattori eguali,risulta:
 A)x(n+1)+ay(n+1)=(3+4a)^(n+1)
 Egualmente usando k=-a si ha:
 B)x(n+1)-ay(n+1)=(3-4a)^(n+1)
 Infine ,ricavando x(n+1) e y(n+1 ) da (A) e (B) , segue (cambiando n+1 in ):
 
 x(n)=1/2*[(3+2sqrt(2))^n+(3-2sqrt(2))^n]
 y(n)=1/sqrt(2)*[(3+2sqrt(2))^n-(3-2sqrt(2))^n]
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Più semplicemente, avendo che
 x_(n)=6x_(n-1) - x_(n-2)
 e ponendo x_0=3
 possiamo operare come segue.
 Costruiamo S(z)=sum x_i * (z^i)
 e calcoliamo
 zS(z)=sum x_i * (z^(i+1))
 (z^2)S(z)=sum x_i * (z^(i+2))
 
 Ora calcoliamo
 (z^2)S(z) - 6zS(z) + S(z)=x_0 + z(x_1-6x_0)=3-z
 
 da cui S(z)=(3-z)/(z^2 - 6z +1)=(1/2)[1/(3-2sqrt(2) -z) + 1/(3+2sqrt(2)-z)]
 
 ora, riconoscendo una serie geometrica nell\'ultima espressione, si ha
 1/(a-z)=sum (z^i / a^(i+1) )
 
 ma nel nostro caso 1/(3+2sqrt(2))=3-2sqrt(2) quindi, possiamo continuare la catena delle uguaglianze scrivendo
 =sum (1/2)[(3-2sqrt(2))^(i+1) * (z^i) + (3+2sqrt(2))^(i+1) * (z^i)]
 
 da cui S(z)=sum(1/2)[(3-2sqrt(2))^(i+1) * (z^i) + (3+2sqrt(2))^(i+1) * (z^i)]=sum (z^i)*(1/2)[(3-2sqrt(2))^(i+1)+ (3+2sqrt(2))^(i+1)]
 
 ma noi sappiamo che il coefficiente di z^i in S(z) è x_i e quindi
 
 x_i=(1/2)[(3-2sqrt(2))^(i+1)+ (3+2sqrt(2))^(i+1)]
 
 Similmente si lavora con y_n.
 
 EG
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 29-02-2004 13:58 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

oppure: alla ricorrenza è associato il polinomio z2-6z+1
 
 le sue radici sono z1=3+2sqrt(2) e z2=3-2sqrt(2)
 
 quindi xn=a*z1+b*z2
 
 in cui a e b si ricavano imponendo che la formula valga per x0
 
 idem con yn [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 29-02-2004 14:11 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

OK!!! Dopo aver visto il metodo delle funzioni generatrici proposto da Evariste e il metodo dell\'equazione caratteristica suggerito da Talpuz... beh, lasciatemi dir che è giusto, allora, quantomeno citare la tecnica risolutiva basata sull\'infelice impiego della trasformata Zeta... poverina, sapete che l\'ha inventata un ingegnIere? Parola del prof. di Controlli Automatici!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
 
 P.S.: sì, certo, siamo d\'accordo... in questo caso, l\'applicazione della Zeta trasformata risulterebbe in buona norma un\'inutile complicazione del metodo talpuziano!!! Difatti, l\'intervento era giusto così per sciorinar... sapienza?! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 01-03-2004 10:48 ]

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Tra i metodi esposti per il calcolo di xn e yn e\' rimasto orfano
 di citazione il mio:si poteva chiamare,che so,\"metodo della indeterminata\"
 invece ciccia.Certo non ha l\'eleganza e la ....complicatezza (che mi pare
 vada tanto di moda su questo Forum,anche e soprattutto a costo della
 chiarezza espositiva) degli altri due ,ma un pregio lo mostra .Non si appoggia
 a procedimenti prefabbricati:insomma e\' autarchico ,fatto ,almeno in parte,
 con le mie ...manine.
 Pazienza,alla prossima.
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 01-03-2004 13:50 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 01-03-2004 15:01 ]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

@Euler: i due metodi sono equivalenti...non solo nel risultato ma anche nella loro natura.
 
 @Karl: non ti offendere, non volevo dire con il mio messaggio \"Il tuo metodo fa schifo, ecco il mio che è più figo\", solo che tu hai esposto un modo molto legato alla particolare successione che era in gioco, mentre io ho voluto dare a chi avesse la voglia di leggere un metodo con la sua giustificazione (poichè a molti è nota la procedura citata da Talpuz, senza però la minima giustificazione).
 Visto che poi le successioni per ricorrenza lineare sono argomento comune, avere un metodo che funzioni in generale non è male...non è nè più elegante nè più complicato del tuo e non si appoggia a conoscenza prefabbricata, ma è un tentativo di riportare ogni successione alle ben note serie geometriche.
 
 @Biagio: io non sono certo un drago in teoria dei numeri, però devo confessarti che, con tutte le congruenze che vuoi, il problema non è per nulla risolto...mod 7 e mod 9 la successione ha un periodo mostruoso, mod 31 e mod 73 peggio e numeri primi più grandi è meglio evitarli, poichè a quel punto il numero dei possibili residui cubici cresce troppo...a meno di non trattare un\'infinità di casi, non vedo soluzione elegantissima...

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Santi numeri, torniamo con i piedi per terra!
 Questo problema fa parte di un foglio di allenamenti per la squadra IMO inglese, e non può essere più difficile di un problema IMO medio. Il foglio contiene 3 problemi, di cui questo è l\'ultimo, da risolvere complessivamente in 4 ore e mezza.
 Attacchiamo con gli strumenti standard che mamma Pisa/Cortona insegna.
 Ricordiamoci che gli elementi della successione non devono essere cubi, mentre per ora stiamo sfruttando solo le congruenze. Se non si cava un ragno dal buco sarà perchè le sole ipotesi sulle congruenze sono troppo deboli! Allora concentriamoci sui cubi...

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-02 02:06, EvaristeG wrote:
 @Euler: i due metodi sono equivalenti...non solo nel risultato ma anche nella loro natura.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Uhm... dipende da cosa intendi, Evariste! Che i due metodi siano equivalenti dacché conducono al medesimo risultato... beh sì, siamo d\'accordo!
 
 E tuttavia, se il senso della tua affermazione non è quello che così ingenuamente ho immaginato... mi trovo a dover discordare con te sul merito di ciò che dichiari. Per intenderci, il metodo di Talpuz è inquadrato nell\'ambito generale della Teoria delle equazioni alle differenze finite, e si applica con successo al caso in cui l\'equazione specificatamente presa in esame sia lineare e a coefficienti costanti, dacché riduce essenzialmente il problema alla risoluzione di una più semplice... equazione algebrica! Giusto per chiarirci, il metodo della caratteristica è l\'esatto equivalente (poste le necessarie corrispondenze del casso...) del metodo omonimo impiegato nella risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti.
 
 Il metodo della funzione generatrice è già una tecnica più raffinata, che (passando per l\'impiego delle serie di potenze) fornisce uno strumento elegante da applicare, fra gli altri, a tutta una classe di equazioni in cui il metodo talpuziano ri rivela inadatto... o meglio inattuabile! Giusto di nuovo per porre un\'analogia nel continuo, il metodo delle funzioni generatrici è in buona norma l\'equivalente del metodo di Frobenius (basato... a \'nvedi un po\' te... sull\'impiego delle serie di potenze) nella risoluzione, che ne so io..., delle differenziali di Hermite, Bessel, Laguerre, Legendre, Mathieu, che tutte trovano un corrispodente in ambito discreto! Ergo, a meno di non voler sostenere che la risoluzione di queste simpatiche equanzioncine con il metodo delle caratteristiche sia una via praticabile, ci tocca riconoscere che l\'equivalenza fra le due tecniche (talpuz vs evariste) non par d\'essere, in ultima Analisi, ragionevolmente plausibile! Forse m\'inganno...? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
 
 P.S.: dimenticavo! \"Casso\", Miiind... va pronunziato con la \"s\" dolce e a denti stretti, mi raccomando... ché la dizione è cosa importante e articolar la lingua nel più giusto modo è un plusvalore irrinunciabile, in quelle certe situazioni di cui si millanta che tu sia il gran ciambellano di coooorte! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 P.P.S.: ti chiedo umilmente scusa, Karl, per non aver citato il tuo \"metodo dell\'indeterminata\" (così come tu l\'hai battezzato). Credimi sinceramente se ti dico che l\'ho fatto in assoluta buonafede!!! Tanto più che la tua tecnica sarà piaciuta di certo a TUTTI per via della sua semplicità, intesa in senso positivo come contrapposizione agli arrovellamenti cervellotici di qualc1... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 P.P.P.S.: dannatisssssima ricorsione di Biagio... arrrrrrgh!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 03-03-2004 00:59 ]

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-02 04:09, Antimateria wrote:
 Santi numeri, torniamo con i piedi per terra!
 Questo problema fa parte di un foglio di allenamenti per la squadra IMO inglese, e non può essere più difficile di un problema IMO medio. Il foglio contiene 3 problemi, di cui questo è l\'ultimo, da risolvere complessivamente in 4 ore e mezza.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 cavolo anti, come hai fatto a scovarlo??

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 cavolo anti, come hai fatto a scovarlo??
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Google --> \"Show that neither sequence contains a perfect cube\" --> <A HREF="http://www.bath.ac.uk/~masgcs/ukimo2004/dec1.pdf" TARGET="_blank">http://www.bath.ac.uk/~masgcs/ukimo2004/dec1.pdf</A>[addsig]