Riemann

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Volevo chiedere: cosa vuol dire trovare gli zeri della funzione zeta di Eulero-Riemann se sono somme di frazioni? non mi pare siano mai uguali a zero...
 
 Comunque a parte questa domanda sto leggendo un libro di aritmetica e devo dire che ogni tanto mi perdo. Ad esempio parlando di funzioni aritmetiche l\'autore introduce Nc(n)=nc e d(n)=[sum d|n] 1=\"numero dei divisori di n\" (n€N c€C) e dice che chiaramente N0*N0=d
 
 Se vi può servire il titolo del libro:\"Lezioni di teoria dei numeri\" di Alessandro Zaccagnini (capitolo 3)
 
 Minchia quanto è complicata la matematica... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

sulla funzione di riemann... infatti, non ha zeri reali.. se la immergi nel piano complesso, può quasi sembrare ovvio che ci possano essere zeri...
 certo, di lì a trovarli, e a dimostare la congettura di riemann, ce n\'è...

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Lo so che la funz di Riemann si svolge sui complessi ma anke con esponente complesso come fa a venire 0 la somma? Mi pare che lo la + grande parte reale di uno zero sia 1/2 ma nn riesco a capirne il xkè...
 
 Ps si potrebbe fare qualche esempio di zeri di questa benedetta funzione???? <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-02-26 14:27, ma_go wrote:
 sulla funzione di riemann... infatti, non ha zeri reali... se la immergi nel piano complesso, può quasi sembrare ovvio che ci possano essere zeri...
 certo, di lì a trovarli, e a dimostare la congettura di riemann, ce n\'è...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 E chi te l\'ha inventata quella storia lì? ma_go, vedi di rettificarti prima che qualcuno possa accorgersi del tuo tremeeeeeendo svarione!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

Messaggio da **FrancescoVeneziano** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Ad esempio parlando di funzioni aritmetiche l\'autore introduce Nc(n)=nc e d(n)=[sum d|n] 1=\"numero dei divisori di n\" (n€N c€C) e dice che chiaramente N0*N0=d
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Probabilmente, quel * che c\'è tra gli N0 non è una moltiplicazione ma una convoluzione di funzioni aritmetiche.
 Questa operazione è definita così: se a(n) e b(n) sono due funzioni aritmetiche, (a*b)(n) è una funzione aritmetica che in n vale sum[d|n] (a(n)b(n/d))
 Se controlli vedi che con questa definizione
 N0*N0 è davvero la funzione d(n)
 
 CaO (ossido di calcio)
 Francesco

Gauss · Messaggio da **Gauss** » 01 gen 1970, 01:33

euler ci hai rotto i coglioni <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

Gauss, da quanto tempo. Che fine avevi fatto?

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-02-26 14:16, Simo_the_wolf wrote:
 Comunque a parte questa domanda sto leggendo un libro di aritmetica e devo dire che ogni tanto mi perdo.
 Se vi può servire il titolo del libro:\"Lezioni di teoria dei numeri\" di Alessandro Zaccagnini (capitolo 3)
 Minchia quanto è complicata la matematica... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ulp!
 Quel libro e\' abbastanza satanico... credo che sia mooolto piu\' utile in un corso universitario (con diversi prerequisiti) che per prepararsi per le olimpiadi (se lo stai leggendo con questo intento ti consiglio invece le dispense di nt di Naoki Sato, le trovi con google: Naoki Sato)
 
 ciao
 --federico

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-02-26 14:27, ma_go wrote:
 sulla funzione di riemann... infatti, non ha zeri reali.. se la immergi nel piano complesso, può quasi sembrare ovvio che ci possano essere zeri...
 certo, di lì a trovarli, e a dimostare la congettura di riemann, ce n\'è...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Ma_gooooo, bimbo bello! E allora? Non hai nulla da dire? Bah!!! Cmq, sebbene l\'argomento sia un tantino high-level, mi permetto egualmente di fornir qualche ragguaglio in merito, dacché i ragazzi paion d\'essere piuttosto interessati alla faccenda (anche a giudicare dai risultati di una rapida ricerca fra i vecchi post disponibili sul forum). Ora... partiamo a primordiis. Tutto ebbe inizio quando, all\'indomani dell\'introduzione dell\'Analisi Infinitesimale per conseguenza dei pionieristici sentieri perseguiti da Newton, Leibniz ed altri, il sommo maestro Eulero (dite che l\'espressione è spudoratamente autocelebrativa?), studiando le somme (infinite) dei reciproci delle potenze degli interi positivi, introdusse una simpatica funzioncina (la cosiddetta zeta di Eulero), che avrebbe polarizzato, di lì a breve, l\'interesse delle più grandi menti Matematiche del pianeta!
 
 La zeta di Eulero è definita in termini della funzione ζ(-): X --> R che associa ad ogni x€X il limite limn-->+inf sum[k=1...n] 1/kx, ove X denota il più grande sottoinsieme di R in cui detto limite risulta esistere finito! In altre parole, X è l\'insieme massimale (in R) di convergenza puntuale della serie di funzioni: sum[n=1...+inf] 1/nx. Ora, si dimostra che in effetti X = ]1, +inf[, ovvero che il limite sopra indicato è convergente se e soltanto se x > 1.
 
 In particolare, come peraltro già riportato da Evariste su un altro 3d, Eulero scoprì un intimo legame fra i numeri di Bernoulli e la ζ(2k), con k intero positivo, suggerendo per l\'esattezza che:
 
 <center>ζ(2k) = (2k-1*|B2k| * Pi2k)/[k! * (2k-1)!!]</center>
 ove Bp indica appunto il p-esimo numero di Bernoulli e p!! l\'emifattoriale di p, cioè il prodotto di tutti gli interi positivi ≤ p e aventie la medesima parità di p.
 
 Ché d\'altra parte, lo stesso Eulero dimostrò un\'ulteriore proprietà della funzione zeta, che (al di là di ogni altra considerazione di sorta) rende tale funzione un oggetto così carico di fascino e mistero. Il maestro fu difatti capace di intuire (non ricordo in verità se sia stato lui per primo a dimostrarlo) che la funzione ζ(-), oltre che in forma di una sommatoria infinita, poteasi nondimeno esprimere in termini d\'una produttoria altrettanto infinita! E non dico qui d\'una produttoria qualsiasi, bensì piuttosto d\'una alquanto speciale! Difatti, Eulero rilevò che:
 
 p.o. x€X, ζ(x) := sum[n=1...+inf] 1/nx = prod[p€P] 1/(1-p-x)
 
 ove P denota qui l\'insieme (infinito) di tutti e soli i numeri primi naturali!!! Da cui si può ragionevolmente intuire quanto importante sia lo studio delle proprietà analitiche di questa funzione in relazione allo studio delle proprietà dei numeri primi (in exemplum, della loro distribuzione in N).
 
 Che se ancora non bastasse, qualche annetto più tardi, Riemann (che, fra parentesi, aveva seri problemi di minchia!) pensò bene di estendere la zeta di Eulero al piano di Gauss-Hadamard, ovvero di considerare x come variabile complessa piuttosto che reale! E fu così che quel geniaccio di Bernhard riuscì ad usurpare (più infido di un dengo dengo!) la paternità ormai acquisita di Eulero sulla funzione ζ(-), che oggi difatti si chiama più correntemente la zeta di Riemann!!!
 
 Adesso però, se vogliamo concludere la storia ed arrivare così finalmente al nocciuolo della faccenda originariamente posta da quel grand\'allupato di Simo ( <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> ), dovremmo, ahimè!, scendere un po\' più nel dettaglio delle idee analitiche poste a fondamento dell\'estensione riemaniana della zeta di Eulero! Ora... siccome non so stabilire se la faccenda possa interessare o meno qualcuno, per il momento mi interrompo qui, in attesa eventualmente di aver qualche riscontro da parte dei ragazzi! In tal caso, posto di aver del tempo da dedicargli, e soprattutto di trovar l\'ispirazione giusta per farlo (ché non sapete probabilmente ch\'io sono più lunatico d\'una femmina sclerata per le bizze del suo ciclo mestruale!!!), vedrò di completare il discorsetto, ok?
 
 P.S.: fatemi rilevare eventuali imprecisioni storiche o di ogni altra specie!!! Mica sono Eulero che posso ricordarmi tutte \'ste robe qui, eh!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 28-02-2004 12:40 ]

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

la faccenda mi sembra interessante euler se continui il discorso magari se mi spieghi la congettura di riemmann e gli zeri di questa benedetta e famosissima funzione poi io te la dimostro <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> ci stai? come patto mi sembra ragionevole......

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

Riemann ha espresso la sua funzione zeta \"estesa\" in termini di un\'integrale curvilineo (con variabile complessa), è per questo che esistono le radici (in effetti anch\'io mi chiedevo come si potesse verificare che un numero complesso fosse uno zero <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">)
 
 euler, se sei in grado di dire qualcosa di più, io sono più che interessato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Uhm... siccome sono troooppo allegrotto ché ho appena finito di risolvere il problemone di Biagio sulle \"successioni che non cubano\", ho deciso di essere buono (ghgh) e quindi... riecchime qua, a completarvi la bella favola di...
 
 <center>Riemann e le sue seghe mentali</center>
 
 E allora... c\'era una volta la zeta di Eulero, povera bimba infelice! \"Ché i vecchi, quando accarezzano, hanno timore di far troppo forte\"... sicché l\'anziano maestro non seppe colmare la povera zimba di tutte le attenzioni ch\'ella avrebbe meritato, e così la gran mignotta restò in attesa che un omuncolo con una capa tanta dai lunghi baffi pulciosi e dal folto pelo ombroso tentasse di circuirla penetrandone in lungo e in largo il gran mistero! Ma quella niente, dacché si era infrigidita un mondo, la poveretta, ché il vecchio Eulero le aveva spento ogni disìo ed ogni pia bramosa voglia con quel suo cricco tenuto su con la carrucola e la lenza. E baffi al vento si mise così a pensare meditare riflettere e rimuginare, da mane a sera, per tanti e tanti giorni, finché in un caldo pomeriggio d\'autunno, sentendosi le palle piene fino all\'orlo, gongolante di quel sano orgoglio maschio di cui Antuccio par d\'esser così scevro, esclamò tutto d\'un botto: \"O porca zoccola maiala, o guarda un po\' tu cos\'è che toccami accettare! O perbaccolina! Per santa Cristofella! Smettiamola, suvvia, d\'esser così serie! Ché se tu, mia cara, or qui l\'accetti e ti risolvi d\'esser la mia zita e rinneghi per questo verso quel ch\'è stato il tuo passato, allora io ti estenderò tutta e ti mostrerò quali piaceri può riservar la vita quando ci s\'intrippa, come me, di anfetamine e si fanno certi viaggi della madeeeena... laggiù, nell\'universo immaginario! Pauuuuuuuura!!!\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
 
 Ecco quel che narrano le tradizioni orali... giuuuuuro, l\'è vero!!! Tuttavia, poiché immagino che questo non vi basti, perché siete pettegoli e morbosamente maldicenti, vi propongo anche l\'altra versione della storia... quella meno ufficiale!!! Zitti però, ché non si sappia in giro! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 E allora... il primo passo nel processo d\'estensione della zeta di Eulero al piano complesso consiste nel dimostrare che la serie sum[n=1...+inf]1/ns è conver-gente per ogni s€Ω, ove s\'è posto Ω := {z€C\\{1}: Re(z) ≥ 1}, essendo Re(-) la funzione che ad ogni z€C fa corrispondere la sua parte reale.
 
 Ora, si dimostra che, per ogni s€Ω, l\'estensione riemaniana della zeta di Eulero, che continueremo qui ad indicare con ζ(-) con un certo \"abuso\" di notazione, soddisfa identicamente l\'equazione funzionale:
 
 <center>Γ(s/2)*Pi-s/2*ζ(s/2) = Γ[(1-s)/2]*Pi-(1-s)/2*ζ[(1-s)/2]........(E.1)</center>
 
 dove Γ(-) denota un\'altra funzione speciale dell\'Analisi, cioè la gamma di Eulero (o meglio, il suo prolungamento analitico al sottoinsieme massimale di C ove n\'è garantita l\'esistenza). Di qui si deduce la possibilità di estendere progressiva-mente per strisce la zeta di Riemann, così come definita originariamente dalla serie sum[n=1...+inf] 1/ns, a tutto il piano complesso, eccezion fatta per i punti {1,0,-1,...,-k,...}. E in particolare si scopre che il limite dell\'estensione così ottenuta per s --> 0 esiste finito, cosicché la ζ(-) può essere prolungata per continuità nell\'origine del piano complesso, e di conseguenza in ogni altro punto del semipiano sinistro degli s€C tali che Re(s) ≤ 0. Di qui e dalla relazione funzionale espressa tramite la (E.1), seguita che ζ(s) = 0, per s = -2k e k€N0. Tali punti formano l\'insieme dei cosiddetti zeri banali della zeta di Riemann. Si scopre quindi che tuttii gli (infiniti) altri zeri della ζ(-), i cosiddetti zeri non banali, appartengono alla striscia del piano di Hadamard-Gauss definito dall\'insieme S := {s€C: 0 < Re(s) < 1}. E precisamente, l\'IPOTESI DI RIEMANN afferma (nè più nè meno) che tutti gli zeri non banali della zeta appartengono necessariamente alla cosiddetta retta critica, che è la retta del piano complesso di equazione Re(s) = 1/2.
 
 Bene! Con questo, penso di avervi detto ben più di ciò che avrei dovuto, in quanto certa Analisi non costituisce un argomento che abbia obiettivamente grande attinenza con le finalità di questo sito! E tuttavia, dacché di Matematica pur sempre si tratta e vista l\'attenuante fornita dalla volontà (più volte espressa) dei ragazzi d\'avere un quadro un po\' più completo e chiaro e sistematico sul merito di questa simpatica funzioncina cui Riemann deve, almeno in parte, la sua gloria e il suo buon nome, mi son permesso di trasgredire il principio generale di IMO-compatibilità nel tentativo di assecondare quel pio devoto desiderio! Spero soltanto di non aver fallito miseramente nell\'intenzione che ha mosso queste mie oltraggiose mani nella loro oscena danza sopra i tasti gelidi di quest\'esanime sfiancata tastiera... almeno tu, mio onanistico Mind, mi riesci a capire? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 04-03-2004 00:50 ]

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-03 21:00, euler_25 wrote:
 ...Di qui e dalla relazione funzionale espressa tramite la (E.3), seguita che ζ(s) = 0, per s = -2k e k€N0. Tali punti formano l\'insieme dei cosiddetti zeri banali della zeta di Riemann. Si scopre quindi che tuttii gli (infiniti) altri zeri della ζ(-), i cosiddetti zeri non banali...
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 03-03-2004 21:50 ]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ζ(s) = 0, per s = -2k e k€N0 ==> ζ(-2) = 0
 ζ(-2) = 0 ==> limn-->+inf sum[k=1...n] k2=0
 
 e ciò non mi par vero.... Dove sbagliai???

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-02-28 13:09, psion_metacreativo wrote:
 la faccenda mi sembra interessante euler se continui il discorso magari se mi spieghi la congettura di riemmann e gli zeri di questa benedetta e famosissima funzione poi io te la dimostro... ci stai? come patto mi sembra ragionevole...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Bene, Psion! IO ho fatto la mia parte... ma adesso tocca a TE! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 P.S.: pretendo quantomeno una spartizione al 50% dei proventi derivati da un\'eventuale TUA dimostrazione dell\'ipotesi di Riemann! E non dirmi che ci sto un po\' troppo a speculare, dacché altrimenti, se proprio vuoi tenerti tutto il danaro per te... beh, ti toccherà porgermi qualcos\'altro, in cambio!!! Sei ancora sicuro del fatto che ti convenga fare lo spilorcio? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-03 21:54, Simo_the_wolf wrote:
 
 ζ(s) = 0, per s = -2k e k€N0 ==> ζ(-2) = 0
 ζ(-2) = 0 ==> limn-->+inf sum[k=1...n] k2=0
 
 e ciò non mi par vero.... Dove sbagliai???
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Uhm... Simo, senti un po\'... dove mai avrei detto che l\'espressione della zeta di Riemann per Re(s) < 1 è data dalla relazione: ζ(s) := sum[n=1...+inf] 1/ns??? Ehm? Me lo spieghi... di grazia? Arrrrrrgh... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 P.S.: cos\'è quel pass remoto? Che fai... mi sfotti? Dannato... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 03-03-2004 22:07 ]