geometria

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Date nel piano tre ellissi a due a due intersecantisi, con fuochi F1 e F2; F2 e F3; F3 e F1, nei punti A e B ;C e D; E e F. Dimostrare che AB, CD, EF concorrono.
 
 Sia dato un cerchio di centro O, un diametro AB e una corda CD perpendicolare ad AB; sia AE il segmento che passa per A e il punto medio di OC. Dimostrare che DE passa per il punto medio di BC.
 
 Data una semicirconferenza di diametro AB e centro O, siano C e D due punti su di esse e sia M il punto in cui la retta per CD incontra AB (con MB<MA e MD<MC). Le circonferenze circoscritte a AOC e BOD si intersecano nuovamente K. Dimostrare che MKO è retto.
 
 Dato un triangolo ABC isoscele su base AB, siano O il circocentro e I l\'incentro; sia D su BC tale che DO è perpendicolare a BI. Dimostrare che IO è parallelo a AC.
 
 Buon divertimento [ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 02-05-2004 22:40 ]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Maledetto Html...
 
 
 Data una semicirconferenza di diametro AB e centro O, siano C e D due punti su di esse e sia M il punto in cui la retta per CD incontra AB (con MB < MA e MD < MC). Le circonferenze circoscritte a AOC e BOD si intersecano nuovamente K. Dimostrare che MKO è retto.

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Sia dato un cerchio di centro O, un diametro AB e una corda CD perpendicolare ad AB; sia AE il segmento che passa per A e il punto medio di OC. Dimostrare che DE passa per il punto medio di BC.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Sei sicuro che sia propio così????? Ho provato a fare la figura 5 o 6 volte, ma DE non passa per il punto medio di BC. Magari sbaglio qualcosa io, prova a controllare, per favore. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

per il primo:
 
 se invece che tre ellissi ci fossero tre cerchi, è facile dimostrare che le tre rette sono concorrenti, utilizzando il teorema dell\'asse radicale
 
 proiettando il tutto in modo che i cerchi diventino ellissi, penso che la tesi rimanga vera
 
 quindi chiedo agli appassionati di geometria proiettiva: dati tre ellissi, esiste sempre una trasformazione proiettiva che li manda in tre circonferenze??

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Avevo pensato anch\'io alla trasformazione proiettiva delle
 ellissi in circonferenze.Il problema e\' che le ellisi in questione
 hanno ,a due a due, un fuoco in comune,il che vuol dire
 che le circonferenze corrispondenti devono essere concentriche
 dal momento che i fuochi vengono trasformati nei centri.
 Questo secondo me, ma forse sto dicendo cavolate.

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-05-03 20:24, karl wrote:
 Avevo pensato anch\'io alla trasformazione proiettiva delle ellissi in circonferenze.Il problema e\' che le ellisi in questione hanno ,a due a due, un fuoco in comune, il che vuol dire che le circonferenze corrispondenti devono essere concentriche dal momento che i fuochi vengono trasformati nei centri. Questo secondo me, ma forse sto dicendo cavolate.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Giuste le premesse, sbagliate le conclusioni... uno solo dei 2 fuochi va nel centro, l\'altro va in un secondo punto dentro il cerchio. Perciò, non è affatto vero che le circonferenze proiettate saranno concentriche.
 I problemi per me sono altri: come diceva talpuz, non è ovvio come si possano proiettare le 3 ellissi in 3 circonferenze e, altro fatto più schiacciante, a occhio mi pare che non si possano costruire 3 cerchi in modo che ognuno contenga il centro di uno solo degli altri 2. E questo mi farebbe scartare l\'idea della proiezione in 3 cerchi.
 Piuttosto, ma qui ho bisogno di qualche conferma, mi pare che si possa proiettare uno dei fuochi all\'infinito, scalare il tutto in modo da rimanere con 2 parabole ed una circonferenza, e da qui andare giù con i conti, che non dovrebbero essere così gravosi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 EDIT: spiego meglio la \"costruzione impossibile\": vogliamo costruire 3 circonferenze a, b, c, di centri A, B, C, a due a due secanti, in modo che a contenga B ma non C, b contenga C ma non A e c contenga A ma non B. E questo non è possibile, è facile dimostrarlo ed è ancor più facile convincersene con un disegnino. Quindi non è possibile nemmeno proiettare le 3 ellissi date in 3 circonferenze, perchè dovrebbero avere le proprietà di cui sopra.
 
 <IMG SRC="http://images.google.it/images?q=tbn:3g ... onspir.jpg"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Antimateria il 04-05-2004 09:09 ]

achillu · Messaggio da **achillu** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-05-04 09:07, Antimateria wrote:
 uno solo dei 2 fuochi va nel centro, l\'altro va in un secondo punto dentro il cerchio.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Hm... non ho capito di che trasformazioni state parlando... comunque, a mio avviso, o i fuochi vanno entrambi nel centro, oppure non ci va nessuno dei due; il centro del cerchio dovrebbe rimanere il punto medio del segmento individuato dalla trasformazione dei fuochi.
 
 Parlo con ignoranza di causa, perché ho letto solo superficialmente ciò che avete scritto, e non mi sono soffermato a capire di che tipo di trasformazione state parlando.

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-05-04 14:27, achillu wrote:
 Hm... non ho capito di che trasformazioni state parlando... comunque, a mio avviso, o i fuochi vanno entrambi nel centro, oppure non ci va nessuno dei due; il centro del cerchio dovrebbe rimanere il punto medio del segmento individuato dalla trasformazione dei fuochi.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Si parla di una trasformazione proiettiva, o come si chiama. Prendi un piano alfa, un punto O esterno ed un piano beta. Ad ogni punto P di alfa fai corrispondere il (...) punto su beta che appartiene alla retta OP. Si vede bene che non è un\'affinità, ed il discorso sul centro che dev\'essere il punto medio delle immagini dei fuochi non regge.
 Ora, è noto che queste trasformazioni mandano coniche in coniche. Prima ho dato per buono il fatto che mandino il centro di una circonferenza in uno dei fuochi dell\'ellisse immagine, non l\'ho mai dimostrato ma mi sembra di averlo letto da qualche parte (oltre che nel post di karl), e non mi pare così assurdo. E\' chiaro inoltre che non è possibile che entrambi i fuochi vadano nel centro...[addsig]

achillu · Messaggio da **achillu** » 01 gen 1970, 01:33

Grazie Antimateria.
 
 Ok, mi è chiara la definizione e mi sono fatto un\'idea della trasformazione. Concordo sul fatto che il centro del cerchio non è il punto medio del segmento individuato dalla proiezione dei fuochi. Anzi, se è vero che uno dei fuochi è proiettato nel centro del cerchio, mi sono fatto una rappresentazione carina di una delle conseguenze.
 
 (Vale a dire: intersecando un piano con un cono in modo che risulti un\'ellisse, significa che uno dei fuochi dell\'ellisse si trova sull\'asse di simmetria del cono!).
 
 Non penso però che queste trasformazioni possano aiutare nella risoluzione del problema. Se infatti troviamo una proiezione che trasforma _una_ delle ellissi in un cerchio, non è detto che _anche le altre due_ ellissi siano trasformate in un cerchio! A meno che non si riesca a dimostrare che, data la particolare configurazione dei fuochi, esiste _una_ proiezione che trasforma _tutte e tre_ le ellissi contemporaneamente in cerchi.
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: achillu il 05-05-2004 14:53 ]

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Soluzione quarto esercizio.
 Per chi legge: A si trova in basso a sinistra,B in basso a destra e C in alto.
 Poniamo CAB=CBA=2a (angoli),c=circonferenza circoscritta,
 H =proiezione ortogonale di D su BI.
 Sia L l\'ulteriore intersezione di c con BH ed M l\'ulteriore
 intersezione di LD con c.
 Unito D con B,essendo DH perpendicolare alla corda BL,ne
 segue che DLH=DBH=a=LBA e cio\' prova che LM e\' parallelo ad AB.
 Nella simmetria di asse CI i punti (L,M) e (A,B) sono coppie di
 punti corrispondenti e pertanto ,poiche\' LB passa per il punto unito
 I,anche la retta corrispondente AM passa per I (cio\' prova che
 A,I ed M sono allineati).
 Unito ora D con I,notiamo che CML=CBL=a perche\' angoli alla
 crf. insistenti sull\'arco LC ed analogamente LMA=LBA=a e cio\'
 prova che LM e\' asse ddel segmento CI.
 Ne segue CD=DI ;ma ( sempre per la simmetria assiale di cui
 prima) e\' pure CD=CE e ID= IE ,essendo E l\'intersezione
 di LD con CA.Pertanto il quadrilatero CDIE risulta essere un rombo
 e questo dimostra il parallelismo di DI con CA.

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-05-02 21:30, EvaristeG wrote:
 Sia dato un cerchio di centro O, un diametro AB e una corda CD perpendicolare ad AB; sia AE il segmento che passa per A e il punto medio di OC. Dimostrare che DE passa per il punto medio di BC.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 questo l\'ho fatto, ma schiaffando tutto in un piano cartesiano e facendo una montagna di conti
 
 qualcuno ha trovato una soluzione sintetica??
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Quest\'ultimo mi sembra essere un caso particolare di uno di quei teoremi (Pascal o Brianchon, non mi ricordo mai il diritto e il rovescio. Ma tanto per la dualita\' dovrebbero essere la stessa cosa basta prendere lucciole per lanterne e lanterne per lucciole <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">) sugli esagoni inscritti in una conica.
 
 Supponi di avere un esagono ABCDEF (comunque intrecciato) inscritto in una conica. Allora se P=AB.DE, Q=BC.EF ed R=CD.FA, allora P,Q ed R sono allineati.
 
 Nel nostro caso(ribattezzando i vertici in modo opportuno), dato che DC e\' parallelo ad AF, R e\' all\'infinito. Questo, in altre parole, significa che PQ e\' parallelo ad AF. E quindi se P e\' il punto medio di EO (dove O=AF.DE) allora Q e\' il punto medio di EF.

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Un secondo modo piu\' \"euclideo\", forse, e\' il seguente.
 
 I triangoli AOC e DBC sono simili. Dato che < EAO = < EAB = < EDB, per similitudine si ha che le semirette AE e DE tagliano i segmenti omologhi OC e BC in parti proporzionali.

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

\"... a occhio mi pare che non si possano costruire 3 cerchi in modo che ognuno contenga il centro di uno solo degli altri 2. ...\"
 
 a me sembra di si, invece. Basta prendere due cerchi c1 e c2 di cui ognuno contiene il centro dell\'altro. e un terco cerchio c3 con centro esterno a c1 e c2 che pero\' contiene uno solo dei due centro O1 od O2.
 
 cio\' detto, non so cosa questo implichi per il resto della questione: non ho letto tutti i messaggi.
 
 ciao

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-05-06 12:26, sprmnt21 wrote:
 \"... a occhio mi pare che non si possano costruire 3 cerchi in modo che ognuno contenga il centro di uno solo degli altri 2. ...\"
 
 a me sembra di si, invece. Basta prendere due cerchi c1 e c2 di cui ognuno contiene il centro dell\'altro. e un terco cerchio c3 con centro esterno a c1 e c2 che pero\' contiene uno solo dei due centro O1 od O2.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Si\', questo e\' chiaro, ma leggi l\'edit in fondo al messaggio: i cerchi non devono essere messi in quel modo...