Polinomi

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Esercizio bello ed istruttivo!
 
 Siano P(x) e Q(x) polinomi a coefficienti interi, supponiamo che a e a+1997 siano radici di P(x) con a intero e che Q[1998] =2000.
 Dimostrare che Q(P(x))=1 non ha soluzioni intere.
 
 
 Ciao
 
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MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Perché non farlo in generale?
 
 Siano P(x) e Q(x) polinomi a coefficienti interi, supponiamo che a e a+2b+1 siano radici di P(x) con a e b interi e che Q(2c)=2d, per qualche c e d (interi). Dimostrare che Q(P(n)) è sempre pari per ogni intero n.

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

sappiamo che (x-y)|P(x)-P(y).
 ponendo y=a e y=a+2b+1 otteniamo:
 
 (x-a)|P(x)
 (x-a-2b-1)|P(x)
 
 Uno tra x-a e x-a-2b-1 è pari è quindi per ogni x naturale abbiamo che p(x) è pari
 
 Ora abbiamo che (P(x)-2c)|Q(P(x))-Q(2c)
 
 se esiste un x tale che Q(P(x)) è dispari allora anche q(p(x))-2d è dispari ma ciò è impossibile in quanto (P(x)-2c)|Q(P(x))-2d e p(x)-2c è pari poichè p(x) è sempre pari (per quanto detto prima).
 
 Naturalmente l\'assurdo sta nel fatto che un numero dispari non può essere diviso da un numero pari! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-08-30 18:20, Simo_the_wolf wrote:
 sappiamo che (x-y)|P(x)-P(y).
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 scusa, ma non riesco a capire perché

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-08-30 18:28, cekko wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-08-30 18:20, Simo_the_wolf wrote:
 sappiamo che (x-y)|P(x)-P(y).
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 scusa, ma non riesco a capire perché
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Ciao. Questo non è difficile e quindi è alla mia portata. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 Ogni polinomio è somma di monomi, inoltre la somma di oggetti divisibili per (x-y) è divisibile per (x-y), per cui se lo dimostro per i monomi ho fatto.
 
 se P(x) = a x^n, allora P(x) - P(y) = a (x-y) < un polinomio di grado n-1>
 
 Il polinomio tra <> si scrive esplicitamente, basta che tu conosca il prodotto notevole che porta alla differenza di due n-esime potenze. Questa formula è corretta per n>0. Infine, per monomi di grado 0 (le costanti!!) la tesi è banalmente vera: P(x) = a ==> P(x)-P(y) = 0 e qualunque numero divide 0. <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
 
 -----------------------
 
 L\'esercizio iniziale mi ricorda qualcosa (ok, lo so che poi si assomigliano tutti). Forse che è tratto dalle gare dei miei anni?? (magari Andrea che ha aperto il filo, lo sa...)
 
 Ciao a tutti.
 
 M.
 [addsig]

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

la tazzina di caffè è per me.