[Gs] Tetraedro regolare (da GNM 1987)

[Marco]

Ciao. Ho trovato questo problema che risale alla preistoria delle gare di matematica in Italia. Spero non lo conscano già anche i muri...
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<BR>Viareggio 1987.2 (*)
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<BR>Un tetraedro ha la seguente proprietà: i tre segmenti ottenuti congiungendo i punti medi degli spigoli opposti sono uguali e ortogonali. Dimostrare che il tetraedro è regolare.
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<BR>(*) per chi non lo sapesse, la GNM si è svolta a Cesenatico solo dal 1989. Prima si teneva, per l\'appunto, a Viareggio.
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<BR>Buon divertimento.
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<BR>M.[addsig]

[sprmnt21]

Se ABCD sono i vertici del tetraedro e K,L,M ed N i punti medi di AB,BC, CD, e DA rispettivamente, si ha che sia NM che KL sono paralleli e meta\' di AC. Pertanto KLMN e\' un parallelogramma. Essendo le diagonali di questo uguali e\' un rettangolo. Essendo le diagonali di questo ortogonali e\' un quadrato.
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<BR>e cosi via ...
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[Marco]

OK. L\'idea è buona e con un po\' di sforzo in più si riesce a completare la dimostrazione. Chi se la sente di proseguire?