[+] La serie degli inversi dei binomiali centrali.

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

Caspita, mi sono distratto un attimo e garda che cosa trovo dietro l\'angolo...
 
 Beh, non ho parole. Non ho vergogna a confessare che non ho seguito in tutti i dettagli la dimostrazione di Hit, ma direi che ha tutta l\'aria di essere solida. Un bel pezzo di bravura!
 
 Siano dunque lodi a Hit. Lodi, Lodi... e Casalpusterlengo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 Un saluto.
 
 M.[addsig]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-09-24 08:53, marco wrote:
 [...] Siano dunque lodi a Hit. Lodi, Lodi... e Casalpusterlengo.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 LOLOL!!! Beh, che dire?! Ah, sì... un saluto anche a te, marco. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 
 \"Non si accende una lampada per poi nasconderla o metterla sotto un secchio. Piuttosto la si mette in alto, perché faccia luce a quelli che entrano nella casa.\" - dal Vangelo di Luca

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Ora che ho avuto voglia di leggere tutti i post di euler...(prima avevo solo sbirciato)...posso a pieno diritto proporre la generalizzazione :
 
 Sum[n=0...inf] ((n^k)*C(2n,n))^(-1)
 
 Il sistema è esattamente lo stesso...proporrei a chi ne a voglia di guardare cosa salta fuori con k=1 (tanto per avere un numero carino, ogni quel tanto).
 
 Mi domandavo se si riesce a risolvere il problema con le funzioni generatrici...

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Ebbene sì, ci avevo già pensato!!! E sarei pure disposto ad occuparmi del caso k = 1, ma in quanto al resto, beh... temo che le argomentazioni che ho usato nella dimostrazione del problema originale siano tutt\'altro che sufficienti per poter fornire risposte di carattere generale alla questione da te qui sollevata, evaristo caro: ahimè, il teorema ipergeometrico di Gauss diviene inservibile là dove già sia k > 1, e le conseguenze di questa presa di coscienza mi paiono veramente catastrofiche!!! Sia come sia, credo che potremmo pure lasciare a qualcun altro il piacere di fornire i dovuti dettagli... Dipendesse da me, approfitterei dell\'occasione per dare una chance a metafisic ond\'espiare i suoi delitti e riscattare così l\'onor perduto, gh...
 
 P.S.: sam, l\'elegante risultato a cui ti riferivi è forse Pi/[3 · sqrt(3)], uh?!
 
 
 \"Giulio, te l\'ho già detto che guardarti mi procura forti sensi di conato?!\" - HiTLeuLeR alla Diffiety

Deka · Messaggio da **Deka** » 01 gen 1970, 01:33

Brutto affare gli ingegneri in crisi mistica..la vedo dura da capire questa..
 (per la gamma di Eulero di solito non si usa Γ ?)
 
 Mitico HiTLeuLer!

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Sì. il risulato è proprio (1/9)Pi*Sqrt(3).
 Cmq non solo Gauss ha un suo teorema ipergeometrico...
 Ecco un esempio :
 per k=2 la serie ipergeometrica in questione è
 3F2(1,1,1;3/2,2,1/4)
 che con opportune manipolazioni si trasforma in una sommatoria di serie ipergeometriche della forma
 3F2(a,b,c;d,e;1)
 (la trasformazione di Norlund è vera per una generica funzione ipergeometrica di ordine n)
 Tale forma si risolve, ad esempio, applicando il teorema si Saalschutz (con una dieresi sulla u).
 Lasciando agli interessati il piacere della scoperta e la tediosità del calcolo, mi limito a dire che il risultato, anch\'esso carino, è 1/3*Z(3)=(1/1<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">Pi^2 dove Z è la funzione Z di Riemann.
 
 Come compito a casa, il caro metafisic, in espiazione al proporre un problema simile, potrebbe trattare con la generica trasformazione di Norlund, il caso k>2 e ricercare se esiste una versione generale del teorema ipergeometrico di Gauss (so che esiste per k=2,...7 ma non so oltre). <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Son certo che metafisic ne sarà a dir poco entusiasta, gh... ghgh...
 
 P.S.: sì, d\'accordo... resta comunque il fatto che, per k > 1, il calcolo diviene qualcosa di veramente angoscioso! Per di più, la sommazione della serie ottenuta applicando l\'identità di Nørlund alle varie ipergeometiche tirate in ballo dall\'applicazione delle varianti al teorema di Gauss (che, come tu stesso hai precisato, non riescono tuttavia a coprire la totalità dei possibili casi) diventa davvero improponibile, o comunque necessita di tutto un insieme di conoscenze addizionali fondate su proprietà convergenti della gamma di Eulero, della zeta di Riemann, delle polilogaritmiche, delle funzioni ellittiche and so on going... In ogni caso, per quel che mi riguarda, lascerò volentieri che sia giulio a portare un po\' di luce sulle tenebre fosche di questa mia ingegneristica ignoranza! Speriamo soltanto che non tardi, quaggiù al buio fa taaanto freddo ed io sono taaanto spaventato...
 
 \"Vae victis!!!\" - Brenno [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 26-09-2004 18:38 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-09-26 17:11, Deka wrote:
 Brutto affare gli ingegneri in crisi mistica... la vedo dura da capire, questa..
 (per la gamma di Eulero di solito non si usa Γ ?)
 
 Mitico HiTLeuLer!
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Ehm... non è che per caso sei proprio QUEL Deka, eeeh?! Oddio, qualcuno mi aiuti! Chiamate il wwf, green peace, il telefono azzurro, la corte dell\'Aia, il commissario straordinario dell\'Alitalia, il colonnello Gheddafi, George barbabietola Bush, Barbra Streisand, Ranieri di Monaco, il principe Felipe, Nelson Mandela, Bruno Vespa, Maria de Filippi in Costanzo Show, Sergio Tacchini, Daria Bignardi, le super chicche, il dr Octopus, nonno puffo, James Bond, il primo ministro del Burkina Faso, aaaaaargh... Chiamate chi diamine vi pare, purché si trovi il modo d\'internare questo tizio!!!
 
 P.S.: amenità a parte... per il futuro, deka, t\'inviterei a risparmiarmi certe meschine aggettivazioni! Se proprio non riesci a trattenerti, beh... che ne diresti di usarmi attributi un tantinello più ridimensionati, sul modello di eccelso, divino, celeste, sommo, supremo, altissimo, magnifico e vari ed altri eventuali che via via avrò premura di suggerirti io stesso, uh? Sai, diversamente finirò per sentirmi imbarazzato... già, imbarazzato di stomaco!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 P.P.S.: sì, di solito sì, Deka! Il punto è che non sapevo da dove copincollare la g greca, ecco tutto... Ciao, carissimo!!!
 
 
 \"Non vi è nulla di più saggio che sorrider di se stessi.\" - saggezza antica [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 26-09-2004 18:47 ]

J4Ck202 · Messaggio da **J4Ck202** » 01 gen 1970, 01:33

Caro Euler, permittimi di muoverti una critica. Senza nulla togliere al tuo grande talento di problem solver, la mia impressione è che tu abbia una spiccata tendenza a complicare le cose sempre più del dovuto, specie quando hai la possibilità di citare qualche nome altisonante. Anche in questo caso, pur senza dichiarazione ufficiale, hai utilizzato un metodo (quello delle funzioni generatrici) che poteva benissimo trovare un\'applicazione molto meno bisognosa di step intermedi.
 Mi spiego senza entrare troppo in dettaglio.
 
 A) Passo chiave. Analisi della ricorsione sui termini da considerare.
 
 C(2n , n) / C(2(n+1) , (n+1)) = 1/4 + 1/(8n+4)
 
 B) Funzione generatrice. Consideriamo (per facilitare l\'algebra che segue)
 
 f(x) = sum[n=1..+inf] x^(8n+3) / C(2n , n)
 
 C) Ricorsione applicata alla funzione generatrice
 
 Detta F(x) la primitiva di f(x) con F(0)=0, abbiamo
 
 (1/4) x f(x) + F(x) = ( f(x) - (x^11)/2 ) ( 1 / x^8 )
 
 D) Soluzione dell\'equazione differenziale associata
 
 L\'equazione differenziale in C si risolve a partire da
 
 (x/4 - 1/x^<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> f(x) + F(x) = 0
 
 E) A questo punto abbiamo una f molto particolare, infatti
 
 f(1) = sum[n=1..+inf] 1 / C(2n , n)
 
 
 
 
 Basta. Tutto il resto è algebra e integrazione.

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Lo ammetto, vostro onore! Qualche volta mi lascio prendere un po\' la mano, ma che posso farci... Ora, se di estetica si tratta, beh... lasciatelo dire! C\'è chi vede bellezza nella semplice linearità delle forme sagomate della Geometria euclidea, chi invece trova che triangoli, parallelogrammi, poligoni e poliedri siano quanto di più arido e sterile (si parla di estetica, lo ricordo!) la mente umana abbia saputo concepire, pur ispirata dalle scabrose sinuosità della natura: per quel che mi riguarda, dacché peraltro la Geometria non l\'ho mai capita, giudico il problema fin troppo al di là della mia modestissima ermeneutica e quindi rassegno la mia incapacità di assumere uno schieramento! E poco importa, in vero, ché l\'esempio mi aiuta più che altro per ricordare a me stesso che, in fondo, ciascuno guarda il mondo con i propri occhi, e il bello del gioco sta proprio lì!!! Così, qualcuno vede in un vortice di polvere null\'altro che rovina e siccità; a qualcun altro, invece, la stessa immagine riporta alla memoria il ricordo d\'un amore balbettato al ritmo d\'un ballo di tanti anni fa... In quanto al resto, senza nulla voler togliere alle tue superlative abilità di problem solver, ti dirò... qualche volta potresti pure liberarti dei soliti schemi e rinunciare per un attimo all\'idea che la standardizzazione ad ogni costo delle tecniche risolutive sia fatto necessariamente degno di lode. Sia come sia, mi metto a prendere appunti... Davvero una soluzione interessante, Jack!!! Come sempre, d\'altro canto...
 
 P.S.: ah, prima che me ne dimentichi... ciao! Orsù, adesso non ci resta che aspettare, fidando che qualcuno proponga infine un approccio al calcolo basato sullo squeeze principle di DB85!!! Sarebbe meraviglioso, non credi anche tu?!
 
 
 \"I have a dream!!!\" - Martin Luter King