OliForum Matematico

Esprimere in \"forma chiusa\" (so che i puristi disprezzerenno questa definizione, ma non ne ho una migliore):
<BR>
<BR>sum_k=1...n(sum_i=1...ki)
<BR>

Si dimostra che
<BR>
<BR>Sum(i_1=0..n : Sum(i_2=0..i_1 : Sum(i_3=0..i_2 : ... Sum(i_k=0..i_(k-1) : i_k )...))) = Coeff.Bin.(n+k,k+1).
<BR>
<BR>Cerca nel forum \"formula di Viglietta\".

Cavoli, non credevo esistesse un risultato così forte della cosa...<IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>Ri-propongo il problema, esprimere quella roba senza l\'ultilizzo della \"formula di Viglietta\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

Penso che la formula cercata sia:
<BR>
<BR>1/6*(n^3+3n^2+2n)
<BR>
<BR>ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

a me viene in mente una specie di piramide....ma sotto coi calcoli:
<BR>
<BR>sum_k=1...n[k(k+1)/2]=
<BR>=sum_k=1...n[(k²)/2 + k/2]=
<BR>=sum_k=1...n[(k²)/2 + k/2]=
<BR>=[sum_k=1...n(k²)]/2 + [sum_k=1...n(k)]/2=
<BR>=n(n+1)(2n+1)/12 + n(n+1)/4 =
<BR>=n(n+1)(2n+1+3)/12=
<BR>=n(n+1)(n+2)/6
<BR>
<BR>che, in effetti, risulta proprio essere la \"formula di Viglietta\"...
<BR>adesso(prima di andarmi a cercare la sua dimostrazione nel forum)cercherò di dimostrarmela per conto mio, ma in questo momento non ho alcuna idea... ci penserò.
<BR>
<BR>EDIT: D\'OH l\'ha già scritta un altro....<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: frengo il 09-01-2005 18:23 ]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-08 13:53, MindFlyer wrote:
<BR>Si dimostra che
<BR>
<BR>Sum(i_1=0..n : Sum(i_2=0..i_1 : Sum(i_3=0..i_2 : ... Sum(i_k=0..i_(k-1) : i_k )...))) = Coeff.Bin.(n+k,k+1).
<BR>
<BR>Cerca nel forum \"formula di Viglietta\".
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>per la prima volta trova un\'applicazione... wow

La mia dimostrazione è simile a quella di frengo, ma sfrutta un\'altra fantastica (almeno per me) formulina che ho \"scovato\" smanettando e credo di poter usare anche per dimostrare la Viglietta\'s, ve la propongo, chiedendo inoltre se qualcuno ne conosce il nome
<BR>
<BR>Trovare una formula per esprimere:
<BR>sum_i=1...n(prod_j=0...k(i+j)) ovviamente in funzione di n e k<font color=white>

Lascio la mia soluzione in bianco: è un esercizio carino e vi consiglio di farlo. Boll, vorrei inoltre vedere, naturalmente solo se ti va, la tua dimostrazione.
<BR><font color=white>
<BR>
<BR>sum_i=1...n(prod_j=0...k(i+j)) è uguale a:
<BR><!-- BBCode Start --><B>(k+n+1)!/[(k+2)*(n-1)!]</B><!-- BBCode End -->.
<BR>
<BR>Si dimostra facilmente per induzione. Dopo averne verificata la validità per n=2 e n=3, supponiamola vera per n, e mostriamo che essa vale anche per n+1. Dunque:
<BR>sum_i=1...n+1(prod_j=0...k(i+j)) = sum_i=1...n(prod_j=0...k(i+j)) + prod_j=0...k(n+1+j) = (k+n+1)!/[(k+2)*(n-1)!] + (k+n+1)!/n! = [n*(k+n+1)! + (k+2)*(k+n+1)!]/[(k+2)*n!] = (k+n+2)!/[(k+2)*n!].
<BR>
<BR>La formula è cosi dimostrata per ogni n naturale, secondo il principio di induzione.
<BR></font><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 09-01-2005 23:57 ]

La mia soluzione è uguale alla tua, DB, tuttavia prendevo semplicemente in esame il caso n=0 per iniziare a indurre... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

Dimostrare allora che:
<BR>
<BR>sum[n=1..m](n^k)=1/(k+1)[m^k+1-sum(bin(k+1,i)(-1)ⁱsum[n=1..m](n^k-i+1)]
<BR>
<BR>...se ha un senso e se si capisce...

Barozz, su quell\'argomento si è già discusso più volte nel forum, ed è anche stata trovata un\'espressione \"chiusa\" per la somma di potenze k-esime.
<BR>Fai una ricerca, sono sicuro che troverai qualcosa di interessante.