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Sia dato un triangolo ABC. Sia I il suo incentro e O il suo circocentro. Sia X l\'ortocentro del triangolo formato dai piedi delle perpendicolari che vanno da I ad ogni lato. Dimostrare che X, I, O sono allineati

Ma per risolverlo bisogna conoscere qualche proprietà della retta di Eulero o sapere usare il teorema di Pappo???

Non credo.
<BR>Questo teorema è una delle proprietà della retta di Eulero, ma non è necessario saperlo per risolverlo. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>Il teorema di Pappo direi che non c\'entra.

Allora sono io che sono immensamente stupido<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> ..ho provato per ore a dimostrarlo con angoli, similitudini e parallelismi vari...proverò ancora!!!

Questo problema non è un discriminante di stupidità, il fatto è che in genere le dimostrazioni di collinearità sono un po\' complicate, specie se non ne hai mai viste prima.
<BR>
<BR>Non in tutti i casi usare gli angoli è la soluzione più efficiente.
<BR>Ad esempio, ecco un bel modo per dimostrare che l\'ortocentro H, il circocentro O ed il baricentro G di un triangolo ABC sono allineati e GH=2GO.<font color=white>
<BR>Chiamiamo A\', B\', C\' i punti medi dei lati di ABC. Il triangolo ABC è simile ad A\'B\'C\', con rapporto di similitudine -1/2. Inoltre, l\'omotetia che manda ABC in A\'B\'C\' è centrata in G, e manda H in O (infatti, O è l\'ortocentro di A\'B\'C\'). Siccome quest\'omotetia dimezza le distanze, e le omotetie lasciano fisse le rette passanti per il centro di omotetia, l\'enunciato è dimostrato.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 31-01-2005 11:53 ]

In effetti un\'omotetia è proprio quello che potrebbe servire qui... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

Ops, mi sono appena reso conto di aver dimostrato (2 messaggi fa) il problema 7.5 della raccolta di Evaristo. Inoltre, a quanto pare questa dimostrazione si è già vista sul forum.
<BR>Per intanto chiedo venia, e tra qualche secondo ci metterò un bel <font color=white>.

Visto che il thread sta cadendo nel dimenticatoio, scrivo lo spoiler (prima di dimenticarmene anch\'io). Lo spoiler non è una dimostrazione, ma rivela l\'idea alla sua base, in modo che dopo averlo letto, chiunque riesca a produrla da solo.
<BR><font color=white>
<BR>Sia c la circ. inscritta di ABC, c\' quella circoscritta.
<BR>Siano A\', B\', C\' le intersezioni di c con ABC, tali che A\' sia su BC, B\' su CA, C\' su AB.
<BR>AI interseca l\'asse di BC nel punto A\'\', che appartiene a c\'. Similmente si costruiscono B\'\' e C\'\'.
<BR>A\'B\'C\' e A\'\'B\'\'C\'\' hanno i lati ordinatamente paralleli (un semplice lavoretto di angoli), quindi esiste un\'omotetia che manda l\'uno nell\'altro.
<BR>Quest\'omotetia manda c in c\', X in I (perché I è l\'ortocentro di A\'\'B\'\'C\'\') e I in O (perché I è il circocentro di A\'B\'C\', e O lo è di A\'\'B\'\'C\'\').
<BR>Quindi l\'omotetia manda il segmento XI nel segmento IO, perciò i 3 punti sono allineati.

Lo spoiler qui sopra mostra anche che IO>=2XI, con uguaglianza se e solo se ABC è equilatero.