OliForum Matematico

Dimostrare che se a e b sono 2 numeri irrazionali positivi tali che 1/a+1/b=1 allora le due successioni x_k=[ka] e y_k=[kb] (dove [x] indica la parte intera di x) formano due insiemi disgiunti la cui unione è N₀
<BR>
<BR>nonostante il loro nome ambiguo (irrazionali), questi numeri paiono comportarsi molto ragionevolmente... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

A questo proposito, vedi il thread sul
<BR><!-- BBCode Start --><A HREF="http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... 35&forum=5" TARGET="_blank">GIOCO AUREO</A><!-- BBCode End -->,
<BR>che ho proposto qualche tempo fa, e che è rimasto irrisolto.

Vogliamo dimostrare, per ogni intero positivo n, che esiste un intero positivo k tale che [ka]=n se e solo se non esiste un intero positivo k tale che [kb]=n.
<BR>
<BR>[ka]=n equivale a
<BR>n < ka < n+1 (visto che a è irrazionale, non può essere n=ka),
<BR>che equivale a <!-- BBCode Start --><B>n/a < k < (n+1)/a</B><!-- BBCode End -->.
<BR>Analogamente, [kb]=n equivale a n/b < k < n/b+1/b.
<BR>
<BR>Sfruttando il fatto che 1/b=1-1/a, quest\'ultima diventa
<BR>n-n/a < k < n-n/a+1-1/a.
<BR>L\'esistenza di un intero in questo intervallo equivale all\'esistenza di un intero nello stesso intervallo traslato di n (che è intero), ovvero
<BR>-n/a < k < -(n+1)/a+1.
<BR>Che, a sua volta, equivale all\'esistenza di un intero nell\'intervallo opposto rispetto allo 0, cioè
<BR><!-- BBCode Start --><B>(n+1)/a-1 < k < n/a</B><!-- BBCode End -->.
<BR>
<BR>L\'unione dei due intervalli evidenziati è ((n+1)/a-1, (n+1)/a), meno il punto n/a. Poiché tale insieme contiene esattamente un intero (perché ha diametro 1, ed inoltre n/a non è un intero per l\'irrazionalità di a), ed i 2 sottointervalli sono disgiunti, la tesi è dimostrata.

Notare che vale anche il viceversa:
<BR>se 2 successioni del tipo [ak], [bk] generano tutti gli interi positivi nel modo descritto, allora a e b sono 2 irrazionali i cui reciproci hanno somma 1.
<BR>La dimostrazione è più facile (soprattutto se si sfrutta la dimostrazione qui sopra!).
<BR>
<BR>Adesso potete usare questo lemma per risolvere il Gioco Aureo.
<BR>Buon lavoro!!

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-08 05:10, MindFlyer wrote:
<BR>Vogliamo dimostrare, per ogni intero positivo n, che esiste un intero positivo k tale che [ka]=n se e solo se non esiste un intero positivo k tale che [kb]=n.
<BR>
<BR>[ka]=n equivale a
<BR>n < ka < n+1 (visto che a è irrazionale, non può essere n=ka),
<BR>che equivale a <!-- BBCode Start --><B>n/a < k < (n+1)/a</B><!-- BBCode End -->.
<BR>Analogamente, [kb]=n equivale a n/b < k < n/b+1/b.
<BR>
<BR>Sfruttando il fatto che 1/b=1-1/a, quest\'ultima diventa
<BR>n-n/a < k < n-n/a+1-1/a.
<BR>L\'esistenza di un intero in questo intervallo equivale all\'esistenza di un intero nello stesso intervallo traslato di n (che è intero), ovvero
<BR>-n/a < k < -(n+1)/a+1.
<BR>Che, a sua volta, equivale all\'esistenza di un intero nell\'intervallo opposto rispetto allo 0, cioè
<BR><!-- BBCode Start --><B>(n+1)/a-1 < k < n/a</B><!-- BBCode End -->.
<BR>
<BR>L\'unione dei due intervalli evidenziati è ((n+1)/a-1, (n+1)/a), meno il punto n/a. Poiché tale insieme contiene esattamente un intero (perché ha diametro 1, ed inoltre n/a non è un intero per l\'irrazionalità di a), ed i 2 sottointervalli sono disgiunti, la tesi è dimostrata.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ho capito il tuo ragionamento, è quello che ho fatto anch\'io, ma ti conviene cambiare i nomi di alcune lettere al fine di una migliore capibilità (ci sono a dove dovrebbero esserci b e ci sono troppe k, meglio distinguere n=[ka] e n=[jb] così si capirebe meglio penso...)

Sul fatto che ci siano a dove dovrebbero esserci b non sono d\'accordo. A cosa ti riferivi di preciso?
<BR>
<BR>Anche le k vanno bene così, perché ogni formula contenente k è implicitamente preceduta da un \"esiste k tale che\". Quindi sono tutte k definite in contesti diversi.

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-09 22:57, MindFlyer wrote:
<BR>ogni formula contenente k è implicitamente preceduta da un \"esiste k tale che\". Quindi sono tutte k definite in contesti diversi.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>E per l\'appunto quando è necessaria maggiore chiarezza di esposizione sarebbe meglio esprimere anche graficamente la diversità dei contesti utilizzando lettere diverse <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Perdindirindina, non capisco se davvero non è chiaro quello che ho scritto, o se stiamo giocando ad avere ragione a tutti i costi su una questione formale.
<BR>Quei k non significano niente, avrei potuto dire ogni volta
<BR>\"c\'è un intero nell\'intervallo (..., ...)\", senza mai dire \"k\". Ora, devo davvero riscrivere il post mettendo gli intervalli, o a questo punto della discussione è chiaro cosa intendessi?
<BR>E\' un\'abitudine consolidata (e necessaria!) riciclare dei nomi di variabile già usati, quando si cambia contesto (o scope che dir si voglia). Ora, poiché quelle variabili avevano tutte lo stesso \"ruolo\", sebbene in contesti diversi, le ho volute chiamare con lo stesso nome, cosa ineccepibile dal punto di vista logico, una volta esplicitati i vari \"esiste k tale che\".
<BR>E\' chiaro che invece non avrei potuto scrivere \"esiste k tale che esiste k tale che...\", perché avrei dichiarato 2 volte k nello stesso contesto.

Tranqui per me è chiaro.