eq funzionale

[Maus]

Sia N=(0, 1,2,...). determinare tutte le funzioni f N->N tali che
<BR>x*f(y)+y*f(x)=(x+y)*f(x^2+y^2)
<BR>per ogni x ed y in N.

[jack202]

Posto x=0 e y<>0 abbiamo
<BR>
<BR>f(0) = f(y^2)
<BR>
<BR>dunque f(x)=k
<BR>vediamo quale k
<BR>
<BR>k x + k y = k (x+y)
<BR>
<BR>tutti i k naturali.
<BR>
<BR>

[Antimateria]

Scusa, ma così dimostri che f(x)=f(0)=k solo se x è un quadrato, perchè il dominio è N...[addsig]

[jack202]

Hai ragione... rattoppo al volo...
<BR>visto che f(1)=k poniamo
<BR>x=1 y=z
<BR>
<BR>f(z) + kz = (z+1) f(z^2+1)
<BR>
<BR>f(x^2+1) = k + (f(x) - k) / (x + 1)
<BR>
<BR>se la funzione va da N in N
<BR>(x+1) divide sempre (f(x) - k)
<BR>dunque
<BR>
<BR>f(x)-k = j(x+1)
<BR>f(x) = jx + (j+k)
<BR>
<BR>f(x) = ax + b
<BR>la funzione risolutrice è sicuramente una
<BR>retta, ma poichè si ha sempre
<BR>
<BR>f(y^2)=0
<BR>
<BR>tale retta è parallela all\'asse x ed ha
<BR>necessariamente equazione
<BR>
<BR>f(x) = k
<BR>

[Antimateria]

Mmm... credo che non vada ancora bene. Non è detto che j sia una costante, hai solo dimostrato che è intero. A priori, j può variare al variare di x.
<BR>
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