Siano $ A=(a_1,\dots ,a_n) $ e $ B=(b_1,\dots ,b_n) $ due vettori a coefficienti in $ \mathbb{R} $ con $ a_1\ge \dots\ge a_n $ e $ b_1 \ge\dots\ge b_n $
Definizione: A maggiorizza B se e solo se
1) per ogni k compreso tra 1 e n si ha: $ \displaystyle\sum_{i=1}^k a_i\ge \sum_{i=1}^k b_i $
2) $ \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i $
Definizione: A magiorizza B se e solo se esiste una funzione $ f:S\to [0,1] $ (dove S è l'insieme delle permutazioni dei numeri da 1 a n) tale che:
1) $ \displaystyle (b_1,\dots ,b_n)= \sum_{\sigma\in S} f(\sigma )(a_{\sigma(1)},\dots ,a_{\sigma(n)}) $
2) $ \displaystyle\sum_{\sigma\in S} f(\sigma )=1 $
Tesi: A maggiorizza B se e solo se A magiorizza B.
Buona fortuna!
condizione equivalente a "maggiorizzare"
condizione equivalente a "maggiorizzare"
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)
Una discussione su questo fatto si trova qui. (Non guardate prima di averci provato, mi raccomando, ovvero non fate come me... 
)
Una definizione alternativa di "magggiorizzazione" si può trovare anche qui.
)Una definizione alternativa di "magggiorizzazione" si può trovare anche qui.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
@ Feddy: ugh, il thread di Mathlinks che hai linkato ha una soluzione decisamente superiore al mio livello di comprensione....
In ogni caso, un piccolo hint:
Allora, l'unica freccia interessante è: se A maggiorizza B, allora A magiorizza B. Potremmo dimostrarlo per induzione chiamando g il più piccolo intero positivo tale che $ a_g<b_g $ e avvicinando $ a_g $ e $ a_{g-1} $ tra di loro mantenedo costante la somma, fino a farne coincidere uno con il corrispondente $ b_i $...
In ogni caso, un piccolo hint:
Allora, l'unica freccia interessante è: se A maggiorizza B, allora A magiorizza B. Potremmo dimostrarlo per induzione chiamando g il più piccolo intero positivo tale che $ a_g<b_g $ e avvicinando $ a_g $ e $ a_{g-1} $ tra di loro mantenedo costante la somma, fino a farne coincidere uno con il corrispondente $ b_i $...
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Uhm, in più un problema in cui forse è leggermente più facile capire cosa bisogna fare...
Definizione: A maiorizza B se e solo se esiste $ f:\{ 1,\cdots ,n\} ^2\to [0,1] $ tale che:
1) per ogni i, $ \displaystyle b_i=\sum_{j=1}^{n} f(i,j)a_j $
2) per ogni i, $ \displaystyle\sum_{j=1}^{n} f(i,j)=1 $
3) per ogni j, $ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(i,j)=1 $
Tesi (vediamo se riuscite a indovinare): A maiorizza B se e solo se A maggiorizza B.
Da questo tra l'altro segue immediatamente Karamata...
Definizione: A maiorizza B se e solo se esiste $ f:\{ 1,\cdots ,n\} ^2\to [0,1] $ tale che:
1) per ogni i, $ \displaystyle b_i=\sum_{j=1}^{n} f(i,j)a_j $
2) per ogni i, $ \displaystyle\sum_{j=1}^{n} f(i,j)=1 $
3) per ogni j, $ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(i,j)=1 $
Tesi (vediamo se riuscite a indovinare): A maiorizza B se e solo se A maggiorizza B.
Da questo tra l'altro segue immediatamente Karamata...
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