sns 1972-73
sns 1972-73
dimostrare che il prodotto di quattro interi consecutivi aumentato di 1 è un quadrato perfetto.
$ $(n-2)(n-1)(n)(n+1) + 1 = n^4 - 2n^3 - n^2 + 2n + 1$ $
Sono 5 termini, quindi non può essere quadrato di binomio. Sarà quadrato di trinomio? Ci servono 3 quadrati e 3 doppi prodotti:
$ $(n^4 + n^2 + 1) - 2n^3 - 2n^2 + 2n$ $
$ $(-n^2)^2 + (n)^2 + (1)^2 + 2(-n^2 \cdot n) + 2(-n^2 \cdot 1) + 2(n \cdot 1)$ $
Ovvero $ $\boxed{(n^2 - n - 1)^2}$ $
Sono 5 termini, quindi non può essere quadrato di binomio. Sarà quadrato di trinomio? Ci servono 3 quadrati e 3 doppi prodotti:
$ $(n^4 + n^2 + 1) - 2n^3 - 2n^2 + 2n$ $
$ $(-n^2)^2 + (n)^2 + (1)^2 + 2(-n^2 \cdot n) + 2(-n^2 \cdot 1) + 2(n \cdot 1)$ $
Ovvero $ $\boxed{(n^2 - n - 1)^2}$ $
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
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Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
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Identica alla mia... rimedio con questa che m'è venuta poco dopo:
$ $n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = m^2$ $
$ $\big(n(n+3)\big)\big((n+1)(n+2)\big) = (m-1)(m+1)$ $
$ $(n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) = (m-1)(m+1)$ $
$ $\big((n^2+3n+1)-1\big)\big( (n^2 + 3n +1)+1\big) = (m-1)(m+1)$ $
dove $ $(n^2+3n+1) = m$ $
$ $n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = m^2$ $
$ $\big(n(n+3)\big)\big((n+1)(n+2)\big) = (m-1)(m+1)$ $
$ $(n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) = (m-1)(m+1)$ $
$ $\big((n^2+3n+1)-1\big)\big( (n^2 + 3n +1)+1\big) = (m-1)(m+1)$ $
dove $ $(n^2+3n+1) = m$ $
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Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
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