Un'alternativa a Mihailescu

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Avatar utente
kn
Messaggi: 508
Iscritto il: 23 lug 2007, 22:28
Località: Sestri Levante (Genova)
Contatta:

Un'alternativa a Mihailescu

Messaggio da kn »

Trovare tutti gli $ \displaystyle~(x,y)\in\mathbb{N}^2 $ tali che $ \displaystyle~|2^x-3^y|=1 $

P.S.: A questo punto...
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
Avatar utente
Maioc92
Messaggi: 778
Iscritto il: 21 apr 2009, 21:07
Località: REGGIO EMILIA

Messaggio da Maioc92 »

per il caso 2^x-3^y>0 si trova facilmente che l'unica soluzione è x=2 y=1.
Invece il caso 2^x-3^y<0 è un po' più complicato (almeno lo è per me....) quindi sto ancora pensando a come risolverlo
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Avatar utente
julio14
Messaggi: 1208
Iscritto il: 11 dic 2006, 18:52
Località: Berlino

Messaggio da julio14 »

mmm... mi è sfuggita la dimostrazione del primo. Ma forse non so leggere fra le righe, eh :D
Avatar utente
Maioc92
Messaggi: 778
Iscritto il: 21 apr 2009, 21:07
Località: REGGIO EMILIA

Messaggio da Maioc92 »

aspettavo di scriverla tutta insieme...comunque:
guardando le congruenze modulo 3 delle potenze di 2 troviamo che x è pari quindi x=2n. A questo punto diventa 3^y=(2^n+1)(2^n-1). Mettendo a sistema 2^n+1=3^k e 2^n-1=3^(y-k) con k>y/2. Quindi diventa 2^(n+1)=3^(y-k)*[3^(2k-y)+1] da cui ricaviamo che deve essere y-k=0 quindi k=y. Dopodichè abbiamo che 2^n-1=1 quindi n=1.
Pertanto l'unica soluzione nel primo caso è x=2 y=1
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
didudo
Messaggi: 123
Iscritto il: 22 mag 2009, 10:45
Località: pisa

Messaggio da didudo »

se2^x-3^y<0>2^x quindi 3^y-2^x=1 una soluzione è x=1 y=1, per x>1 abbiamo che 2^x è congruo a 0 (mod 4) e quindi y=2y'.
si ha che (3^y'+1)(3^y'-1)=2^x quindi 3^y+1=2^a e 3^y-1=2^b con a+b=x
quindi 2^a-2^b=2 quindi a=2 e b=1:
l'unica soluzione per x>1 è:y=2 e x=3 se è sbagliato tutto potete tirarmi pomodori e mele marce. :oops:
pensavo fosse il forum "belli e abbronzati"....
didudo
Messaggi: 123
Iscritto il: 22 mag 2009, 10:45
Località: pisa

Messaggio da didudo »

nella prima riga intendevo dire che 3^y>2^x,scusatela mia tastiera,è la sua prima volta...
pensavo fosse il forum "belli e abbronzati"....
Avatar utente
kn
Messaggi: 508
Iscritto il: 23 lug 2007, 22:28
Località: Sestri Levante (Genova)
Contatta:

Messaggio da kn »

scusatela mia tastiera,è la sua prima volta
:shock: :lol:

Bravo! Ora con questo puoi abbattere il problema di geda!
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ »

ecco, se poi quelle stesse formule le mettete dentro ai tag

Codice: Seleziona tutto

[tex][/tex]
precedute da un $ o ~ (altrimenti si mangia la formula nella produzione dell'immagine) fate anche un piacere a chi legge :roll:

Usare il $ ~\LaTeX $ non e' difficile :wink:
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
Avatar utente
kn
Messaggi: 508
Iscritto il: 23 lug 2007, 22:28
Località: Sestri Levante (Genova)
Contatta:

Messaggio da kn »

kn ha scritto:
scusatela mia tastiera,è la sua prima volta
:shock: :lol:
Forse non era colpa della tastiera: controlla di disattivare sempre l'HTML prima di inviare i messaggi, altrimenti < e > non vengono considerati come caratteri normali e ti sballano tutto (volendo nel Profilo puoi disabilitarlo permanentemente in modo che ci sia sempre già in automatico il segno di spunta affianco a Disabilita HTML nel messaggio... per farlo in fondo alla pagina del Profilo seleziona No sotto la voce Abilita sempre HTML) :wink:
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
didudo
Messaggi: 123
Iscritto il: 22 mag 2009, 10:45
Località: pisa

Messaggio da didudo »

grazie!!!!
pensavo fosse il forum "belli e abbronzati"....
danielf
Messaggi: 203
Iscritto il: 17 set 2009, 19:11

Messaggio da danielf »

Maioc92 ha scritto:Quindi diventa 2^(n+1)=3^(y-k)*[3^(2k-y)+1]
ma qui che fai? :oops:
dario2994
Messaggi: 1428
Iscritto il: 10 dic 2008, 21:30

Messaggio da dario2994 »

Riscrivo qui riassumendo (non so se siano uguali le soluzioni gia postate)... tra l'altro ho usato questo per risolverne un altro xD:
$ $2^x-3^y=1 $
x=1,y=0 da soluzione. Assumo y>0. Analizzando mod 3 risulta x pari. Perciò per qualche k vale:
$ (2^k-1)(2^k+1)=3^y $
Da cui si ricava che 2 potenze di 3 distano sono 2==> sono rispettivamente 1,3 da cui si ricava la soluzione x=2,y=1.
$ $3^y-2^x=1 $
x=1,y=1 da soluzione. Assumo x>1. Analizzando mod 4 risulta y pari. Perciò per qualche k vale:
$ (3^k-1)(3^k+1)=2^x $
Da cui si ricava che 2 potenze di 2 distano 2==> sono rispettivamente 2,4 da cui si ricava la soluzione x=3,y=2.
Quindi in tutto le soluzioni sono: (x,y)=(1,0);(2,1);(1,1);(3,2).
Spero di non aver toppato nulla...
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Rispondi