N-esimo polinomio by SNS [(98-99).3]

[Poliwhirl]

Sia $ \displaystyle p(x) = a_d x^d + \dots + a_0 $ un polinomio a coefficienti interi. Per ogni intero $ n $, sia $ m = p(n) $.
a) Dimostrare che per ogni intero $ k $ il numero $ p(n+km) $ è divisibile per m.
b) Descrivere i polinomi $ p(x) $ tali che, per ogni $ n $, $ p(n) $ è un numero primo.

Bye,
#Poliwhirl#

[HiTLeuLeR]

a) $ p(n + km) \equiv \sum_{i=0}^d a_i (n + km)^i \equiv \sum_{i=0}^d a_i n^i \equiv p(n) \equiv 0 \bmod m $, per ogni $ k \in \mathbb{Z} $.

b) I polinomi costanti di tipo p(x) = n tali che n è primo in Z.

[evans]

Scusa Hit puoi spiegarmi perchè:
$ \sum_{i=0}^d a_i (n + km)^i \equiv \sum_{i=0}^d a_i n^i $

[HiTLeuLeR]

Innanzitutto clicca qui. Quindi considera quanto segue.

i) Banalmente $ n + mk \equiv n \bmod m $, per ogni $ n, k \in \mathbb{Z} $.

ii) Tramite la 12): i) $ \Longrightarrow $ $ (n + mk)^i \equiv n^i \bmod m $, per ogni $ n, k \in \mathbb{Z} $ ed i = 0, 1, ..., d.

iii) Tramite la 8): ii) $ \Longrightarrow $ $ a_i (n + mk)^i \equiv a_i n^i \bmod m $, per ogni $ n, k \in \mathbb{Z} $ ed i = 0, 1, ..., d.

iv) Tramite la 5): iii) $ \Longrightarrow $ $ \sum_{i=0}^d a_i (n + mk)^i \equiv \sum_{i=0}^d a_i n^i \bmod m $, per ogni $ n, k, i \in \mathbb{Z} $.

EDIT: inseriti i tag mancanti.

[evans]

Grazie mille! ho solo dei problemi di visualizzazione con il Tex mi sa che ci manca qualche tag.

[HiTLeuLeR]

Ehm... Sì, li inserisco subito!

[Gauss_87]

a) $ p(n + km) \equiv \sum_{i=0}^d a_i (n + km)^i \equiv \sum_{i=0}^d a_i n^i \equiv p(n) \equiv 0 \bmod m $, per ogni $ k \in \mathbb{Z} $.

b) I polinomi costanti di tipo p(x) = n tali che n è primo in Z.

l'avevo fatto uguale ma non avevo trovato la soluzione, grazie HiTLeuLer mi hai confermato quel che ho fatto!

[mrossi]

Scusate se ci torno su, ma come si dimostra che non vi sono altri polinomi oltre a quello costante per cui vale tale proprietà?

[CoNVeRGe.]

Dal punto (a) sai che il polinomio deve assumere per infiniti valori di x lo stesso numero primo p, dunque è necessariamente costante. Credo basti questo

[mrossi]

probabilmente interpreto male, però a me sembra di capire che dica che per ogni n p(n) sia un numero primo, non LO STESSO numero primo.

[Maioc92]

infatti l'affermazione di converge viene dal fatto che nella a abbiamo dimostrato che se $ P(n)=p $, allora per ogni k $ P(n+kp)=mp $ con m intero. Se fosse però $ m $ diverso da 1 avresti che $ P(n+kp) $ non è più primo. Quindi $ P(n+kp)=p $ per ogni k, da cui puoi concludere

[mrossi]

Ok chiarissimo! Grazie mille!