SNS 2000/2001 n 3
SNS 2000/2001 n 3
Sia $ I $ l'intervallo chiuso $ [0,1] $. Determinare tutte le funzioni surgettive $ f: I \rightarrow I $ che non aumentano le distanze, ovvero tali che $ |f(x)-f(y)| \leq |x-y| $ per ogni x, y appartenenti a I
Sia T il sottoinsieme del piano costituito dai 3 lati (vertici compresi) di un triangolo scaleno. Determinare tutte le funzioni surgettive $ f : T \rightarrow T $ tali che $ dist(f(P),f(Q)) \leq dist(P,Q) $ per ogni P,Q appartenente a T.
Sia T il sottoinsieme del piano costituito dai 3 lati (vertici compresi) di un triangolo scaleno. Determinare tutte le funzioni surgettive $ f : T \rightarrow T $ tali che $ dist(f(P),f(Q)) \leq dist(P,Q) $ per ogni P,Q appartenente a T.
allora ecco come ho fatto io: poichè f è surgettiva allora esisteranno $ k,h $
tali che $ f(k)=1,f(h)=0 $. Sostituendo troviamo che $ |k-h|\ge 1 $, ma poiche $ 0\le h,k\le 1 $ l'unica possibilità è $ k=0,h=1 $ o $ k=1,h=0 $, ovvero che $ f(0)=0,f(1)=1 $ o viceversa. Se ora sostituiamo y=0 e y=1 troviamo $ |f(x)-f(0)|\le x $ e $ |f(x)-f(1)|\le x-1 $. Sostituendo i possibili valori di f(0) e f(1) troviamo nel primo caso $ f(x)\le x $ e $ f(x)\ge x $,quindi $ f(x)=x $.
Nel secondo caso troviamo $ f(x)\le 1-x $ e $ f(x)\ge 1-x $, quindi $ f(x)=1-x $ e cosi dovrei aver concluso.
Tutto questo solo perchè non so ancora niente di integrali e derivati, quindi devo trovare metodi alternativi.
Per il secondo punto forse sono io che ho capito male, ma mi sembra impossibile che la funzione sia surgettiva
tali che $ f(k)=1,f(h)=0 $. Sostituendo troviamo che $ |k-h|\ge 1 $, ma poiche $ 0\le h,k\le 1 $ l'unica possibilità è $ k=0,h=1 $ o $ k=1,h=0 $, ovvero che $ f(0)=0,f(1)=1 $ o viceversa. Se ora sostituiamo y=0 e y=1 troviamo $ |f(x)-f(0)|\le x $ e $ |f(x)-f(1)|\le x-1 $. Sostituendo i possibili valori di f(0) e f(1) troviamo nel primo caso $ f(x)\le x $ e $ f(x)\ge x $,quindi $ f(x)=x $.
Nel secondo caso troviamo $ f(x)\le 1-x $ e $ f(x)\ge 1-x $, quindi $ f(x)=1-x $ e cosi dovrei aver concluso.
Tutto questo solo perchè non so ancora niente di integrali e derivati, quindi devo trovare metodi alternativi.
Per il secondo punto forse sono io che ho capito male, ma mi sembra impossibile che la funzione sia surgettiva
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Io ho dato una soluzione pseudo geometrica.
Chiamiamo ABC il triangolo contenente i punti di T. Il triangolo è scaleno, quindi un lato sarà maggiore degli altri 2, diciamo BC. Prendendo le varie possibilità, si vede che la massima distanza fra 2 punti all'interno del triangolo è proprio il lato maggiore; quindi, i punti a cui sono associati B e C devono essere per forza B e C . Ci sono 2 possibilità:
1) ad A è associato A e a B è associato B: in questo caso si vede che tutti i punti di BC devono corrispondere a se stessi; infatti se ad un punto P fosse associato un'altro punto di BC o uno degli altri due lati la sua distanza da almeno uno dei due vertici aumenterebbe. Si verifica poi che il terzo vertice A deve essere associato a se stesso (perché qualsiasi altro punto non potrebbe essere associato ad A, altrimenti la sua distanza da almeno uno dei due vertici B o C aumenterebbe). Segue che la trasformazione f è l'identità.
2) ad A è associato B e a B è associato A. In questo caso è evidente che nessun punto potrebbe essere associato ad A (nemmeno A) perché altrimenti aumenterebbe la sua distanza da almeno uno dei due vertici (ovviamente si verifica anche questo geometricamente.) Quindi questo caso è impossibile.
Quindi l'unica funzione possibile è l'idendità
Chiamiamo ABC il triangolo contenente i punti di T. Il triangolo è scaleno, quindi un lato sarà maggiore degli altri 2, diciamo BC. Prendendo le varie possibilità, si vede che la massima distanza fra 2 punti all'interno del triangolo è proprio il lato maggiore; quindi, i punti a cui sono associati B e C devono essere per forza B e C . Ci sono 2 possibilità:
1) ad A è associato A e a B è associato B: in questo caso si vede che tutti i punti di BC devono corrispondere a se stessi; infatti se ad un punto P fosse associato un'altro punto di BC o uno degli altri due lati la sua distanza da almeno uno dei due vertici aumenterebbe. Si verifica poi che il terzo vertice A deve essere associato a se stesso (perché qualsiasi altro punto non potrebbe essere associato ad A, altrimenti la sua distanza da almeno uno dei due vertici B o C aumenterebbe). Segue che la trasformazione f è l'identità.
2) ad A è associato B e a B è associato A. In questo caso è evidente che nessun punto potrebbe essere associato ad A (nemmeno A) perché altrimenti aumenterebbe la sua distanza da almeno uno dei due vertici (ovviamente si verifica anche questo geometricamente.) Quindi questo caso è impossibile.
Quindi l'unica funzione possibile è l'idendità
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Io continuo a non capire come sia possibile che la funzione sia surgettiva. Mi spiego meglio: se con T intendiamo tutti i punti appartenenti ai 3 lati di coordinate (x,y) avremo che ogni coordinata x (escluse quelle dei 2 estremi più esterni) individua 2 punti. Pertanto se f fosse surgettiva l'immagine avrebbe cardinalità maggiore del dominio,assurdo. Ora dov'è che sbaglio in questo ragionamento?Pairo ha scritto: Quindi l'unica funzione possibile è l'idendità
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
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Che adoperi una definizione di surgettività incomprensibile. Quindi, giustamente, non la comprendi. Sai cosa significa che una funzione $ f:A\rightarrow B $ è surgettiva?Maioc92 ha scritto:Ora dov'è che sbaglio in questo ragionamento?
P.S. Sbagli anche il discorso sulle cardinalità, ma ci torniamo dopo.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]
$ ~f: X\to Y $ dicesi funzione surriettiva, se ad ogni elemento di X associa un solo elemento di Y (funzione) e ogni elemento di Y e' immagine di un elemento di X (surriettivita')
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]
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Sì. Cioè, che la sua immagine è il codominio.Maioc92 ha scritto:che la sua immagine corrisponde al codominio? Finora l'ho sempre intesa cosi.....
In generale vuol dire che l'immagine di f è B. Quindi, per ogni punto b di B esiste un punto a in A tale che f(a)=b.
Nel caso del problema, dominio e codominio sono T, e T è un insieme di punti del piano formato dai 3 lati di un triangolo. Quindi per ogni punto P di 'sto triangolo, deve esistere un punto P' del triangolo tale che f(P')=P. Ora vedi bene che l'identità soddisfa banalmente questa condizione.
Se è chiaro questo, passiamo a discutere di cardinalità.
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allora mi ero preso un abbaglio...non tanto per la surgettività quanto per come avevo inteso il problema. Io pensavo che la funzione riguardasse le coordinate dei punti e non i punti stessi, cioè pensavo che come nel piano cartesiano f(x) fosse la coordinata y del punto
Ora ho capito grazie
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Infatti penso che questo sia uno dei famigerati problemi di comprensione del testo in matematichese. Una volta capito il testo, non c'è molto da ragionare.
Sulla cardinalità: qualsiasi insieme infinito X ha la stessa cardinalità di sé stesso "raddoppiato". Detto più precisamente, $ $|X| = |\{0,1\}\times X| $.
Dimostralo per esercizio nel caso molto facile in cui $ $X=\mathbb N $.
Sulla cardinalità: qualsiasi insieme infinito X ha la stessa cardinalità di sé stesso "raddoppiato". Detto più precisamente, $ $|X| = |\{0,1\}\times X| $.
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[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]
Bonus: Sia $ A $ l'area di piano racchiusa dentro il triangolo, trovare tutte le funzioni $ f: A \to A $ con le stesse ipotesi di prima.
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Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"
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