SNS 2009/2010. n°4.
SNS 2009/2010. n°4.
Su un piano cartesiano è disposta una rete metallica costituiti da fili rettilinei che, incrociandosi perpendicolarmente, formano quadrati di lato unitario. La rete è disposta con fili paralleli agli assi coordinati e gli incroci nei punti con coordinate intere. Una formica si muove lungo la rete, scegliendo a caso, ad ogni incrocio, quale direzione prendere, ma sempre nel verso positivo degli assi coordinati.
a) La formica ha percorso un cammino dall'origine (0,0) al punto di coordinate (m,n) con min{m,n}>0. Qual è probabilità che sia passata per un dato punto (i,j)?
b) Per quali punti (i,j) del rettangolo di vertici (0,0),(m,0),(n,0),(m,n) tale probabilità è minima?
a) La formica ha percorso un cammino dall'origine (0,0) al punto di coordinate (m,n) con min{m,n}>0. Qual è probabilità che sia passata per un dato punto (i,j)?
b) Per quali punti (i,j) del rettangolo di vertici (0,0),(m,0),(n,0),(m,n) tale probabilità è minima?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
per il punto a dovrebbe essere $ \displaystyle \frac{\binom{i+j} i\binom{m+n-i-j}{m-i}}{\binom{m+n} m} $, ovvero ilo numero di strade che vanno da (0,0) a (i,j) moltiplicato per il numero di strade che vanno da (i,j) a (m,n) e troviamo i casi favorevoli, che ovviamente dividiamo per i casi possibili, ovvero per il numero di strade che va da (0,0) a (m,n), Può essere?
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Prima di tutto calcolo tutti i modi di arrivare a (m,n); questi sono rappresentabili come i modi di piazzare "le frecce su" in mezzo a tutte le frecce che identificano il cammino: essendo le frecce su n; le frecce totali m+n ottengo:
$ {m+n \choose n} $
Invece per calcolare i modi passando per (i,j) uso un metodo analogo ma immaginando dal punto (0,0) a (i,j) e dal punto (i,j) a (m,n) sviluppando come prima ottengo:
$ {i+j\choose i}{m+n-i-j\choose m-i} $
La probabilità è data dal rapporto dei 2 valori perciò è:
$ \displaystyle\frac{{i+j\choose i}{m+n-i-j\choose m-i}}{{m+n \choose n}} $
Per avere la probabilità minima devo minimizzare il numeratore dato che il denominatore è fissato. Prima di tutto noto che ottengo 1 con queste 2 coppie:
$ (i,j)=(0,n);(m,0) $
Detto questo dimostro che sono le uniche che realizzano 1 perchè il primo binomiale diventa 1 solo se i o j equivale a 0. Mentre il secondo solo se i=m oppure j=n.
Per giustificare questo basta usare il lemma noto (e facile facile da dimostrare):
$ {a\choose b}=1\Rightarrow b=0\ oppure\ b=a $
$ {m+n \choose n} $
Invece per calcolare i modi passando per (i,j) uso un metodo analogo ma immaginando dal punto (0,0) a (i,j) e dal punto (i,j) a (m,n) sviluppando come prima ottengo:
$ {i+j\choose i}{m+n-i-j\choose m-i} $
La probabilità è data dal rapporto dei 2 valori perciò è:
$ \displaystyle\frac{{i+j\choose i}{m+n-i-j\choose m-i}}{{m+n \choose n}} $
Per avere la probabilità minima devo minimizzare il numeratore dato che il denominatore è fissato. Prima di tutto noto che ottengo 1 con queste 2 coppie:
$ (i,j)=(0,n);(m,0) $
Detto questo dimostro che sono le uniche che realizzano 1 perchè il primo binomiale diventa 1 solo se i o j equivale a 0. Mentre il secondo solo se i=m oppure j=n.
Per giustificare questo basta usare il lemma noto (e facile facile da dimostrare):
$ {a\choose b}=1\Rightarrow b=0\ oppure\ b=a $
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- Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12
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Però vedendo tutto quello che è successo a quel cimitero in 250 anni, dalla conversione in un parco ai bombardamenti, mi sembra strano che non sia mai stato riesumato.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]
Wikipedia ha scritto:Bayes died in Tunbridge Wells, Kent. He is buried in Bunhill Fields Cemetery in London where many Nonconformists are buried.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
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Io, nel convertire da cimitero a giardino, avrei riesumato tutto quanto.Wikipedia ha scritto:it was laid out as a public open space with seating, gardens, and the restoration of some of its most worthy monuments. The new park was opened by the Lord Mayor on October 14 1869.
[...]
The main burial ground was also severely damaged by German bombing during World War II
Poi non è che le ossa si conservino proprio alla perfezione in 250 anni anche in una bara, a prescindere da tutto. Almeno credo...
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]