Problema 3, oliforum contest 2009, round 2
Problema 3, oliforum contest 2009, round 2
Problema 3.
Own. Trovare tutti gli $ (x,y,z) \in \mathbb{Z}^3 $ tali che $ x^3-5x=1728^y\cdot 1733^z-17 $.
Own. Trovare tutti gli $ (x,y,z) \in \mathbb{Z}^3 $ tali che $ x^3-5x=1728^y\cdot 1733^z-17 $.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
-
- Messaggi: 571
- Iscritto il: 22 mar 2008, 12:04
- Località: A casa sua
Re: Problema 3, oliforum contest 2009, round 2
Nella soluzione inviata ho sbagliato qualche calcolo ma questa dovrebbe essere giusta
Innanzitutto y e z naturali perchè $ gcd(1728,1733)=1 $ e $ x^3-5x $ è intero. Ora guardo x
CASO 1
x negativo, pongo $ x=-a $
$ -a^3+5a=1728^y1733^z-17 $
$ a(5-a^2)=1728^y1733^z-17 $
Poichè per $ a=1,2 $ il RHS è 4 e non ho soluzioni, il LHS è negativo, quindi anche il RHS è l'unico modo è y=z=0
$ -a^3+5a=1-17 $
$ -a^3+5a+16=0 $
Provo per i divisori positivi di 16 perchè a è positivo ma non si annulla, quindi non ha soluzione
CASO 2
x=0
$ 0=1728^y1733^z-17 $ che non ha soluzione
CASO 3
Quindi x è positivo
Innanzitutto noto che il LHS è sempre dispari, sia nel caso x pari che nel caso x dispari. Pertanto y=0 e ottengo:
$ x^3-5x=1733^z-17 $
$ x^3-5x-1733^z+17=0 $
Per il teorema delle radici del polinomio x è della forma $ (-1733^z+17)k $ che sostituendo nel polinomio mi fa ottenere:
$ (-1733^z+17)^3k^3-5(-1733^z+17)k+(-1733^z+17) $
Divido tutto per $ -1733^z+17 $ e ottengo:
$ (-1733^z+17)^2k^3-5k+1=0 $
Per il teorema delle radici $ k=1 $ (per k=-1 si verifica subito che non ha soluzione)e sostituendo ottengo:
$ 1733^{2z}+289-2*17*1733^z+5+1=0 $
$ 1733^2z-34*1733^z+295=0 $
Se $ 1733^z=x $ ho:
$ x^2-34x+295=0 $ ma provando per i divisori di 295 (1,5,59,295) e per i loro opposti non ottengo soluzioni, quindi non ha soluzione
CVD
Innanzitutto y e z naturali perchè $ gcd(1728,1733)=1 $ e $ x^3-5x $ è intero. Ora guardo x
CASO 1
x negativo, pongo $ x=-a $
$ -a^3+5a=1728^y1733^z-17 $
$ a(5-a^2)=1728^y1733^z-17 $
Poichè per $ a=1,2 $ il RHS è 4 e non ho soluzioni, il LHS è negativo, quindi anche il RHS è l'unico modo è y=z=0
$ -a^3+5a=1-17 $
$ -a^3+5a+16=0 $
Provo per i divisori positivi di 16 perchè a è positivo ma non si annulla, quindi non ha soluzione
CASO 2
x=0
$ 0=1728^y1733^z-17 $ che non ha soluzione
CASO 3
Quindi x è positivo
Innanzitutto noto che il LHS è sempre dispari, sia nel caso x pari che nel caso x dispari. Pertanto y=0 e ottengo:
$ x^3-5x=1733^z-17 $
$ x^3-5x-1733^z+17=0 $
Per il teorema delle radici del polinomio x è della forma $ (-1733^z+17)k $ che sostituendo nel polinomio mi fa ottenere:
$ (-1733^z+17)^3k^3-5(-1733^z+17)k+(-1733^z+17) $
Divido tutto per $ -1733^z+17 $ e ottengo:
$ (-1733^z+17)^2k^3-5k+1=0 $
Per il teorema delle radici $ k=1 $ (per k=-1 si verifica subito che non ha soluzione)e sostituendo ottengo:
$ 1733^{2z}+289-2*17*1733^z+5+1=0 $
$ 1733^2z-34*1733^z+295=0 $
Se $ 1733^z=x $ ho:
$ x^2-34x+295=0 $ ma provando per i divisori di 295 (1,5,59,295) e per i loro opposti non ottengo soluzioni, quindi non ha soluzione
CVD
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.
Re: Problema 3, oliforum contest 2009, round 2
non mi è ben chiaro questo passaggio...se ho capito quale teorema usi non trovi solo che $ x|-1733^z+17 $??Giuseppe R ha scritto:Per il teorema delle radici del polinomio x è della forma $ (-1733^z+17)k $
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
io sono arrivato a dire che y=0 e ci ho anche provato mod 17, però mi sono lasciato fin da subito scoraggiare dai conti...poi quando sono arrivato a x congruo a 6 e ho visto che non era assurdo ho lasciato perdere...peccato per la mia poca perseveranza
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
-
- Messaggi: 571
- Iscritto il: 22 mar 2008, 12:04
- Località: A casa sua
Re: Problema 3, oliforum contest 2009, round 2
sìMaioc92 ha scritto:non mi è ben chiaro questo passaggio...se ho capito quale teorema usi non trovi solo che $ x|-1733^z+17 $??Giuseppe R ha scritto:Per il teorema delle radici del polinomio x è della forma $ (-1733^z+17)k $
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.
-
- Messaggi: 571
- Iscritto il: 22 mar 2008, 12:04
- Località: A casa sua
la prima parte comunque è giusta
Magari non ti prendi i 7 punti ma comunque dei punti li prendi dai
Dopotutto errare è umano e succede a tutti (a me in particolare ).
Comunque domani voglio provare modulo 17 come suggerito da ndp15 e vedere se ci salto fuori
Magari non ti prendi i 7 punti ma comunque dei punti li prendi dai
Dopotutto errare è umano e succede a tutti (a me in particolare ).
Comunque domani voglio provare modulo 17 come suggerito da ndp15 e vedere se ci salto fuori
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Ma non viene proprio o solo perchè la soluzione diviene brutta e calcolosa (neanche i fisici in effetti avrebbero fatto di peggio ) ?jordan ha scritto:17?
Comunque l'ho risolto a mezzanotte del venerdi prima di addormentarmi, non vorrei aver scritto boiate ma l'idea mi pare fosse $ LHS=\pm 1 (mod 17) $ mentre per $ RHS $ si dovevano fare una decina di casi ed erano tutti impossibili.
-
- Messaggi: 571
- Iscritto il: 22 mar 2008, 12:04
- Località: A casa sua
Se provi per 6 e per 11 ($ x \equiv 6,11 \pmod (17) $) escono proprio -1 e +1 (ho seguito anch'io quella strada ma non portava da nessuna parte)ndp15 ha scritto:Ma non viene proprio o solo perchè la soluzione diviene brutta e calcolosa (neanche i fisici in effetti avrebbero fatto di peggio ) ?jordan ha scritto:17?
Comunque l'ho risolto a mezzanotte del venerdi prima di addormentarmi, non vorrei aver scritto boiate ma l'idea mi pare fosse $ LHS=\pm 1 (mod 17) $ mentre per $ RHS $ si dovevano fare una decina di casi ed erano tutti impossibili.
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.
Ok deliri di mezzanotte, avevo supposto che $ x $ e $ z $ avessero la stessa parità, ovviamente senza dimostrarlo (a proposito, si puo' fare?).Giuseppe R ha scritto:Se provi per 6 e per 11 ($ x \equiv 6,11 \pmod (17) $) escono proprio -1 e +1 (ho seguito anch'io quella strada ma non portava da nessuna parte)ndp15 ha scritto:Ma non viene proprio o solo perchè la soluzione diviene brutta e calcolosa (neanche i fisici in effetti avrebbero fatto di peggio ) ?jordan ha scritto:17?
Comunque l'ho risolto a mezzanotte del venerdi prima di addormentarmi, non vorrei aver scritto boiate ma l'idea mi pare fosse $ LHS=\pm 1 (mod 17) $ mentre per $ RHS $ si dovevano fare una decina di casi ed erano tutti impossibili.
Mi scuso se ho creato disagi.
P.S comunque siete cattivi, ora passerò tutto il pomeriggio a pensare a come risolvere e non studierò per l'interrogazione di domani