Siano dati $ (a,b,c) \in \mathbb{N}_0^3 $tali che $ \displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c} $ è intero . Mostrare che almeno uno tra $ \displaystyle \frac{a^3-b^3}{a+b+c},\frac{b^3-c^3}{a+b+c},\frac{c^3-a^3}{a+b+c} $ è intero.
(QEDMO2005).
a+b+c|a^2+b^2+c^2
a+b+c|a^2+b^2+c^2
The only goal of science is the honor of the human spirit.
$ $a+b+c|a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) \Longrightarrow a+b+c|2(ab+bc+ac)$ $
Togliamo subito i casi patologici.
Abbiamo due casi:
1) $ $a+b+c=1$ $ da cui due numeri sono uguali a 0, quindi almeno uno fra $ \displaystyle \frac{a^3-b^3}{a+b+c},\frac{b^3-c^3}{a+b+c},\frac{c^3-a^3}{a+b+c} $ è pari a 0, da cui la tesi.
2) $ $a+b+c=2$ $ da cui due numeri sono uguali a 1 (altrimenti si cadrebbe nel caso precedente), anche in questo caso almeno uno fra $ \displaystyle a^3-b^3,~b^3-c^3,~c^3-a^3 $ si annulla.
Da questo punto in poi supponiamo che $ $a+b+c \nmid 2$ $ e quindi $ $a+b+c|ab+bc+ca$ $ (*).
Sappiamo che $ $a+b+c|a(a+b+c)$ $ e quindi unito a (*) si ottiene, per sottrazione, $ $a+b+c|a^2-bc$ $ cioè $ $a+b+c|a^3-abc$ $.
Faccio la stessa cosa con $ $b$ $ e $ $c$ $ e ottengo:
$ $a+b+c|b^3-abc$ $
$ $a+b+c|c^3-abc$ $
Concludo: $ $a+b+c|a^3-abc-(b^3-abc)=a^3-b^3$ $.
Togliamo subito i casi patologici.
Abbiamo due casi:
1) $ $a+b+c=1$ $ da cui due numeri sono uguali a 0, quindi almeno uno fra $ \displaystyle \frac{a^3-b^3}{a+b+c},\frac{b^3-c^3}{a+b+c},\frac{c^3-a^3}{a+b+c} $ è pari a 0, da cui la tesi.
2) $ $a+b+c=2$ $ da cui due numeri sono uguali a 1 (altrimenti si cadrebbe nel caso precedente), anche in questo caso almeno uno fra $ \displaystyle a^3-b^3,~b^3-c^3,~c^3-a^3 $ si annulla.
Da questo punto in poi supponiamo che $ $a+b+c \nmid 2$ $ e quindi $ $a+b+c|ab+bc+ca$ $ (*).
Sappiamo che $ $a+b+c|a(a+b+c)$ $ e quindi unito a (*) si ottiene, per sottrazione, $ $a+b+c|a^2-bc$ $ cioè $ $a+b+c|a^3-abc$ $.
Faccio la stessa cosa con $ $b$ $ e $ $c$ $ e ottengo:
$ $a+b+c|b^3-abc$ $
$ $a+b+c|c^3-abc$ $
Concludo: $ $a+b+c|a^3-abc-(b^3-abc)=a^3-b^3$ $.
Appassionatamente BTA 197!
