Feb 2003 es 16 - Serie senza primi

[OriginalBBB]

Non volevo proseguire la discussione nel topic del percorso, visto che ci sono alcune (molte) cose che non capisco. Del procedimento e dei risultati sono sufficientemente sicuro, mi pare invece di aver fatto errori e mancannze tecniche, quali? Volendo dimostrarlo come ho fatto io, analizando le quattro possibilità di congruenza, come avreste fatto? Ed in ultima istanza, come l'avreste fatto senza usare l'aritmetica modulare?

Feb 03 es 16 (dimostrativo)
Sia $ x_0, x_1, x_2,... $la successione definita da $ x=2 $ e $ x_{n+1} = 5+ (x_n)^2 $, dimostrare che non compaiono numeri primi oltre a 2.

Se $ 5+ (x_n)^2 \equiv 0 (mod 4) $
$ x_{n+1} $ sarebbe pari e quindi non primo

Se $ 5+ (x_n)^2 \equiv 1 (mod 4) $
5 dovrebbe essere un quadrato perfetto, che non è

Se $ 5+ (x_n)^2 \equiv 2 (mod 4) $
$ (x_n)^2 \equiv 1 $ , quindi $ (x_n)^2 $ sarebbe dispari, e sommato ad un altro dispari, 5, darebbe un risultato pari, non primo

Se $ 5+ (x_n)^2 \equiv 3 (mod 4) $
$ 3+ (x_n)^2 \equiv 1 $ e 3 dovrebbe essere un quadrato perfetto, che non è


Riguardo allle obiezioni sollevate nell'altro topic...

cosa intendi per rappresentazione in

la rappresentazione non è detto che debba essere unica.

. Vuoi dire che non è detto che il primo possaessere espresso nella forma di somma di due quadrati? Ma il teorema dice proprio questo (per quanto ho capito), e che se non può essere espresso in quella forma non è primo.
Non ho capito proprio

Cioè, prima dovresti dimostrare il se e solo se. Poi dimostri che è unica (il che è vero e l'identità di Jacobstal esplicita anche quali siano questi due interi).

E soprattutto, per i primi congrui 3 modulo 4 come la metti?

Per quelli mi sono riportato alla congruenza 1 diminuendo il 5, non si può?

[jordan]

Il link da te messo dice che un primo >2 è esprimibile come somma di quadrati se e solo se è congruo 1 modulo 4.

Prima cosa, devi dimostrarlo, chi ti assicura che non l'abbia scritto un babbuino?

Seconda cosa, ammesso che sia vero il primo punto, e tutti gli altri primi congrui 3 modulo 4?

Terza cosa, tu hai ammesso implicitamente che se $ 5+x_n^2 $ è primo allora esso è proprio una rappresentazione (che esiste?) come somma di due quadrati. E se un primo avesse due rappresentazioni come somme di quadrati ma non fosse esprimibile come $ 5+x_n^2 $ (che tra l'altra 5 non è un quadrato..).

Quarta cosa, la rappresentazione come somma di quadrati, si è unica, quando esiste. Prova a dimostrarlo. (Ok, non c'entra col problema, ma a mio parere non c'entra manco dal punto 1 in poi..). Come sfizio poi l'identità da te citata ti dice esattamente quali sono questi due interi x e y tali che $ x^2+y^2 $ è il primo fissato.

Per quelli mi sono riportato alla congruenza 1 diminuendo il 5, non si può?

Mmh, non t'ho capito..


Ps. Hai fatto bene a spostarlo qua, comunque basta vedere che uno si e uno sono pari, basta quindi che gli altri dispari sono tutti multipli di 3, non mi pare serve neanche l'aritmetica modulare:parte da 3k. il termine successivo è $ 5+9k^2 $ che è pari. Il termine successivo è $ 5+(5+9k^2)^2=3 (6+30k^2+27k^4) $. (Sarebbe in teoria un'induzione visto che devi verificare che il secondo termine è effetivamente multiplo (e maggiore) di 3, ma lasciamo i dettagli

[Spammowarrior]

Posto la soluzione che ho fatto io (è come quella di jordan ma magari fa comodo avercela messa bene)

per prima cosa si calcolano velocemente i primi 3 termini.

$ X_0=2 $
$ X_1=9 $
$ X_2=86 $

dopodichè si calcola $ X_{n+1} $ in funzione di $ X_{n-1} $:

$ X_{n}= 5 + X_{n-1}^2 $
$ X_{n+1}=5+X_N^2= 5 + (X_{n-1} + 5 )^2= 30 + X_{n-1}^2 + 10X_{n-1} $

partendo da n-1=0, si verifica che tutti gli $ X_n $ di posto pari sono pari:
difatti, se $ X_{n-1} $ è pari, $ 30 + X_{n-1}^2 + 10X_{n-1} $ è pari, poichè tutti i termini sono pari. di conseguenza per indice pari X è pari e >2, quindi non primo.
partendo invece da n-1=1, si verifica allo stesso modo che
se $ X_{n-1} $ è multiplo di 3,
allora $ X_{n+1} = 30 + X_{n-1}^2 + 10X_{n-1} $ è multiplo di 3,
poichè tutti i termini sono multipli di 3
di conseguenza tutti gli X di posto dispari sono multipli di 3 (poichè X di posto uno lo è), e maggiori di 3 (poichè la successione è strettamente crescente), quindi non primi.

[Haile]

Esiste un metodo generale per trovare una formula chiusa [ovvero che permetta di calcolare l'n-esimo termine della successione senza calcolare i precedenti] per una successione di questo tipo [non lineare]?

[Giulius]

Che io sappia proprio no, l'unico caso in cui si può sempre trovare una formula chiusa è il caso della ricorrenza lineare a n termini precedenti. Successioni a ricorrenza non lineare danno infatti spesso luogo a fenomeni cosiddetti caotici e non sono in generale esprimibili con formule chiuse.