Identità di Eulero e Serie di Taylor
Identità di Eulero e Serie di Taylor
Proseguo della discussione iniziata qua.
Bé, Tibor Gallai, sono un profano di questo argomento, è normale che scriva inesattezze.
Bé, Tibor Gallai, sono un profano di questo argomento, è normale che scriva inesattezze.
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Allora, facciamo le cose con metodo. Diamo una definizione di esponenziale complesso, prima di tutto. Possibilmente senza porre $ $e^{i\pi} = -1 $ per definizione, altrimenti l'esercizio va a farsi benedire.
Poi dimostriamo che la definizione è ben posta, e poi dimostriamo l'identità di Euler.
Poi dimostriamo che la definizione è ben posta, e poi dimostriamo l'identità di Euler.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]
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Hai posto
$ $e^z := \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} $
per ogni $ z\in \mathbb C $, da cui segue che
$ $e^{i\pi} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(i\pi)^n}{n!} $.
Poi?
$ $e^z := \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} $
per ogni $ z\in \mathbb C $, da cui segue che
$ $e^{i\pi} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(i\pi)^n}{n!} $.
Poi?
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]
Poi si divide quella sommatoria in due parti, delle quali una rappresenta lo sviluppo del seno (per n dispari, che quindi moltiplica i), e l'altra del coseno (per n pari). Dovrei spiegare perché si può riordinare, ma non ho idea di come si faccia. Da lì si ottiene la tesi, no?
EDIT: Una serie si può sempre riordinare quando converge? E se diverge? (Non è un problema, è una domanda. )
EDIT: Una serie si può sempre riordinare quando converge? E se diverge? (Non è un problema, è una domanda. )
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Per niente. (se vuoi degli esempi, te ne faccio)sasha™ ha scritto:EDIT: Una serie si può sempre riordinare quando converge? E se diverge? (Non è un problema, è una domanda. )
Una condizione è quella a cui si riferisce gian92, con la differenza che qui non siamo in $ $\mathbb R $, quindi si dovrebbe parlare di norme e non di valori assoluti.
Nota comunque che qui stai facendo in realtà una cosa ancora diversa dal riarrangiare, e cioè stai sommando due serie. Un riarrangiamento si ottiene permutando gli indici, ergo separare una serie in una somma di 2 serie non è riarrangiarla.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]
hai ragione, che condizione serve affinchè si possa fare ciò?Tibor Gallai ha scritto:Per niente. (se vuoi degli esempi, te ne faccio)sasha™ ha scritto:EDIT: Una serie si può sempre riordinare quando converge? E se diverge? (Non è un problema, è una domanda. )
Una condizione è quella a cui si riferisce gian92, con la differenza che qui non siamo in $ $\mathbb R $, quindi si dovrebbe parlare di norme e non di valori assoluti.
Nota comunque che qui stai facendo in realtà una cosa ancora diversa dal riarrangiare, e cioè stai sommando due serie. Un riarrangiamento si ottiene permutando gli indici, ergo separare una serie in una somma di 2 serie non è riarrangiarla.
basta la convergenza assoluta?
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E quindi una serie convergente può essere sempre divisa come somma di più serie, senza perdita di generalità, a patto che le nuove serie convergano? E se è divergente? Boh, non ci raccapezzo più, è un argomento abbastanza nuovo per me.
Vediamo, vediamo... Se una serie ha tutti gli elementi concordi, dovrebbe essere sempre possibile riarrangiarla, o per lo meno non vedo perché non si potrebbe. Se i segni sono alternati, dovremmo porre qualche altra condizione, credo di aver capito che si può fare se la somma dei valori assoluti converge (se operiamo coi reali). Ci sono altre condizioni o basta così?
Vediamo, vediamo... Se una serie ha tutti gli elementi concordi, dovrebbe essere sempre possibile riarrangiarla, o per lo meno non vedo perché non si potrebbe. Se i segni sono alternati, dovremmo porre qualche altra condizione, credo di aver capito che si può fare se la somma dei valori assoluti converge (se operiamo coi reali). Ci sono altre condizioni o basta così?
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Stai ragionando su numeri reali (concordi? segni alternati??), e la cosa non è detto che si estenda ai complessi.
Comunque capire come funzionano le serie di reali non è male, come punto di partenza...
Allora, hai giustamente intuito che una serie di reali concordi può essere riordinata a piacimento senza variarne la somma. Più in generale, vale un teorema di Dirichlet secondo cui, se la sotto-serie dei termini positivi e la sotto-serie dei termini negativi non sono entrambe divergenti, l'intera serie può essere riordinata a piacere, senza variarne la somma.
Invece, se le due sotto-serie di cui sopra divergono, e se la successione degli addendi della serie tende a 0, vale un teorema di Dini e Riemann secondo cui, fissato un reale a scelta, esiste un riordinamento della serie la cui somma è quel reale, esistono altri riordinamenti la cui somma è +infinito e -infinito, ed altri riordinamenti per cui la serie è indeterminata, ovvero le somme parziali non hanno limite.
Tuttavia, la somma di una serie non varia se viene riordinata spostando ogni termine di un numero limitato di posizioni.
Puoi per esempio (esercizio) esplicitare una serie convergente che, opportunamente riordinata, converge ad un limite diverso (per convergente si intende che la sua somma è finita).
Comunque capire come funzionano le serie di reali non è male, come punto di partenza...
Allora, hai giustamente intuito che una serie di reali concordi può essere riordinata a piacimento senza variarne la somma. Più in generale, vale un teorema di Dirichlet secondo cui, se la sotto-serie dei termini positivi e la sotto-serie dei termini negativi non sono entrambe divergenti, l'intera serie può essere riordinata a piacere, senza variarne la somma.
Invece, se le due sotto-serie di cui sopra divergono, e se la successione degli addendi della serie tende a 0, vale un teorema di Dini e Riemann secondo cui, fissato un reale a scelta, esiste un riordinamento della serie la cui somma è quel reale, esistono altri riordinamenti la cui somma è +infinito e -infinito, ed altri riordinamenti per cui la serie è indeterminata, ovvero le somme parziali non hanno limite.
Tuttavia, la somma di una serie non varia se viene riordinata spostando ogni termine di un numero limitato di posizioni.
Puoi per esempio (esercizio) esplicitare una serie convergente che, opportunamente riordinata, converge ad un limite diverso (per convergente si intende che la sua somma è finita).
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]
Sì, sono partito dai reali, poi magari vedo come si evolve la faccenda con i complessi.
Mi stai dicendo che se almeno una tra la somma dei positivi e quella dei negativi converge, la serie può essere riordinata a piacere. In caso contrario, posso riordinarla in modo da farla convergere a un reale qualsiasi, farla divergere in positivo o in negativo o addirittura renderla indeterminata. (Per indeterminata intendi tipo $ $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$ $ ?)
Adesso provo a ragionare su una serie non riordinabile...
Mi stai dicendo che se almeno una tra la somma dei positivi e quella dei negativi converge, la serie può essere riordinata a piacere. In caso contrario, posso riordinarla in modo da farla convergere a un reale qualsiasi, farla divergere in positivo o in negativo o addirittura renderla indeterminata. (Per indeterminata intendi tipo $ $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$ $ ?)
Adesso provo a ragionare su una serie non riordinabile...
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Sì, quello è un esempio di serie senza somma (o indeterminata). Ricorda però che il teorema di Dini-Riemann ha l'ulteriore ipotesi che gli addendi tendano a 0, e quello non ne è un esempio.sasha™ ha scritto:(Per indeterminata intendi tipo $ $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$ $ ?)
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]
se prendiamo ad esempio la serie :
$ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\log{2} $
(si vede sostituendo 2 alla definizione come serie di taylor del logaritmo naturale)
e la permutiamo in questo modo:
$ \displaystyle 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+... $
che, se mettiamo insieme i primi due termini, il 4° e il 5°, il 7° e 8° eccetera diventa:
$ \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+... $
$ \displaystyle \frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...)=\frac{\log{2}}{2} $
e i termini della successione tendono a 0 all'aumentare di n!
$ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\log{2} $
(si vede sostituendo 2 alla definizione come serie di taylor del logaritmo naturale)
e la permutiamo in questo modo:
$ \displaystyle 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+... $
che, se mettiamo insieme i primi due termini, il 4° e il 5°, il 7° e 8° eccetera diventa:
$ \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+... $
$ \displaystyle \frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...)=\frac{\log{2}}{2} $
e i termini della successione tendono a 0 all'aumentare di n!
Ultima modifica di gian92 il 30 mag 2010, 17:38, modificato 1 volta in totale.