Identità di Eulero e Serie di Taylor

[sasha™]

Proseguo della discussione iniziata qua.

Bé, Tibor Gallai, sono un profano di questo argomento, è normale che scriva inesattezze.

[Tibor Gallai]

Allora, facciamo le cose con metodo. Diamo una definizione di esponenziale complesso, prima di tutto. Possibilmente senza porre $ $e^{i\pi} = -1 $ per definizione, altrimenti l'esercizio va a farsi benedire.
Poi dimostriamo che la definizione è ben posta, e poi dimostriamo l'identità di Euler.

[sasha™]

Ho preso lo sviluppo di $ $e^x$ $ come definizione, con $ x = i\theta $, non va bene? O forse non ho capito cosa mi stai chiedendo.

[gian92]

$ \displaystyle e^z= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!} $

[Tibor Gallai]

Hai posto

$ $e^z := \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} $

per ogni $ z\in \mathbb C $, da cui segue che

$ $e^{i\pi} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(i\pi)^n}{n!} $.

Poi?

[gian92]

poi dato che la serie dei valori assoluti converge, la riordino come ha fatto sasha prima e ottengo la formula.

[sasha™]

Poi si divide quella sommatoria in due parti, delle quali una rappresenta lo sviluppo del seno (per n dispari, che quindi moltiplica i), e l'altra del coseno (per n pari). Dovrei spiegare perché si può riordinare, ma non ho idea di come si faccia. Da lì si ottiene la tesi, no?

EDIT: Una serie si può sempre riordinare quando converge? E se diverge? (Non è un problema, è una domanda. )

[Tibor Gallai]

EDIT: Una serie si può sempre riordinare quando converge? E se diverge? (Non è un problema, è una domanda. )

Per niente. (se vuoi degli esempi, te ne faccio)

Una condizione è quella a cui si riferisce gian92, con la differenza che qui non siamo in $ $\mathbb R $, quindi si dovrebbe parlare di norme e non di valori assoluti.

Nota comunque che qui stai facendo in realtà una cosa ancora diversa dal riarrangiare, e cioè stai sommando due serie. Un riarrangiamento si ottiene permutando gli indici, ergo separare una serie in una somma di 2 serie non è riarrangiarla.

[gian92]

EDIT: Una serie si può sempre riordinare quando converge? E se diverge? (Non è un problema, è una domanda. )

Per niente. (se vuoi degli esempi, te ne faccio)

Una condizione è quella a cui si riferisce gian92, con la differenza che qui non siamo in $ $\mathbb R $, quindi si dovrebbe parlare di norme e non di valori assoluti.

Nota comunque che qui stai facendo in realtà una cosa ancora diversa dal riarrangiare, e cioè stai sommando due serie. Un riarrangiamento si ottiene permutando gli indici, ergo separare una serie in una somma di 2 serie non è riarrangiarla.

hai ragione, che condizione serve affinchè si possa fare ciò?
basta la convergenza assoluta?

[Tibor Gallai]

Boh, dite voi!

[sasha™]

E quindi una serie convergente può essere sempre divisa come somma di più serie, senza perdita di generalità, a patto che le nuove serie convergano? E se è divergente? Boh, non ci raccapezzo più, è un argomento abbastanza nuovo per me.

Vediamo, vediamo... Se una serie ha tutti gli elementi concordi, dovrebbe essere sempre possibile riarrangiarla, o per lo meno non vedo perché non si potrebbe. Se i segni sono alternati, dovremmo porre qualche altra condizione, credo di aver capito che si può fare se la somma dei valori assoluti converge (se operiamo coi reali). Ci sono altre condizioni o basta così?

[Tibor Gallai]

Stai ragionando su numeri reali (concordi? segni alternati??), e la cosa non è detto che si estenda ai complessi.
Comunque capire come funzionano le serie di reali non è male, come punto di partenza...

Allora, hai giustamente intuito che una serie di reali concordi può essere riordinata a piacimento senza variarne la somma. Più in generale, vale un teorema di Dirichlet secondo cui, se la sotto-serie dei termini positivi e la sotto-serie dei termini negativi non sono entrambe divergenti, l'intera serie può essere riordinata a piacere, senza variarne la somma.

Invece, se le due sotto-serie di cui sopra divergono, e se la successione degli addendi della serie tende a 0, vale un teorema di Dini e Riemann secondo cui, fissato un reale a scelta, esiste un riordinamento della serie la cui somma è quel reale, esistono altri riordinamenti la cui somma è +infinito e -infinito, ed altri riordinamenti per cui la serie è indeterminata, ovvero le somme parziali non hanno limite.

Tuttavia, la somma di una serie non varia se viene riordinata spostando ogni termine di un numero limitato di posizioni.

Puoi per esempio (esercizio) esplicitare una serie convergente che, opportunamente riordinata, converge ad un limite diverso (per convergente si intende che la sua somma è finita).

[sasha™]

Sì, sono partito dai reali, poi magari vedo come si evolve la faccenda con i complessi.

Mi stai dicendo che se almeno una tra la somma dei positivi e quella dei negativi converge, la serie può essere riordinata a piacere. In caso contrario, posso riordinarla in modo da farla convergere a un reale qualsiasi, farla divergere in positivo o in negativo o addirittura renderla indeterminata. (Per indeterminata intendi tipo $ $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$ $ ?)

Adesso provo a ragionare su una serie non riordinabile...

[Tibor Gallai]

(Per indeterminata intendi tipo $ $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$ $ ?)

Sì, quello è un esempio di serie senza somma (o indeterminata). Ricorda però che il teorema di Dini-Riemann ha l'ulteriore ipotesi che gli addendi tendano a 0, e quello non ne è un esempio.

[gian92]

se prendiamo ad esempio la serie :
$ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\log{2} $
(si vede sostituendo 2 alla definizione come serie di taylor del logaritmo naturale)
e la permutiamo in questo modo:
$ \displaystyle 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+... $
che, se mettiamo insieme i primi due termini, il 4° e il 5°, il 7° e 8° eccetera diventa:
$ \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+... $
$ \displaystyle \frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...)=\frac{\log{2}}{2} $
e i termini della successione tendono a 0 all'aumentare di n!