p^x-y^p=1
provo io..ma ho qualche dubbio:
noto che y deve essere pari.
p sarà anche dispari poichè è primo,nel caso in cui p=2 ho come terna (1,1,2)
ora divido in due casi:
1)x=2k
2)x è dispari
caso 1,riscrivo l'eq iniziale come
$ (p^k-1)(p^k+1)=y^p $
che fornisce come unica soluzione y=2,p=3 e k=1
che sinceramente non so spiegare perchè è l'unica ma non credo esistano altri valori per cui posso avere nel RHS un numero pari elevato ad un esponente dispari
caso 2,riscrivo l'eq iniziale come:
$ (p-1)(p^{x-1}+p^{x-2}....+1)=y^p $
e anche questo dovrebbe essere impossibile perchè p-1 è pari mentre l'altro fattore è dispari,per avere soluzione dovrei avere in p-1 un numero pari elevato a un esponente dispari e nell'altro prodotto un numero dispari sempre elevato a un esponente dispari.ma credo non ci siano soluzioni..
probabilmente ci saranno degli errori,quindi per favore correggetemi
noto che y deve essere pari.
p sarà anche dispari poichè è primo,nel caso in cui p=2 ho come terna (1,1,2)
ora divido in due casi:
1)x=2k
2)x è dispari
caso 1,riscrivo l'eq iniziale come
$ (p^k-1)(p^k+1)=y^p $
che fornisce come unica soluzione y=2,p=3 e k=1
che sinceramente non so spiegare perchè è l'unica ma non credo esistano altri valori per cui posso avere nel RHS un numero pari elevato ad un esponente dispari
caso 2,riscrivo l'eq iniziale come:
$ (p-1)(p^{x-1}+p^{x-2}....+1)=y^p $
e anche questo dovrebbe essere impossibile perchè p-1 è pari mentre l'altro fattore è dispari,per avere soluzione dovrei avere in p-1 un numero pari elevato a un esponente dispari e nell'altro prodotto un numero dispari sempre elevato a un esponente dispari.ma credo non ci siano soluzioni..
probabilmente ci saranno degli errori,quindi per favore correggetemi
ok non sono in grado di scrivere una dimostrazione,non mi sembra di aver detto "ehi guarda che figo ho risolto l'esercizio",ho chiesto anzi di aiutare a correggermi e anche di farmi capire come va scritto e come si dimostrano cose che per me "si vedono"Maioc92 ha scritto:cioè, no commentEuler ha scritto:Il caso 2 avrebbe bisogno di essere sistemato, per il resto va benissimo
Al momento non mi viene in mente niente, perchè io ho usato un metodo diverso considerando che $ p^x=y^p+1 $ e sviluppando il polinomio escludendo il caso di p=2...vedrò cosa posso fare con il tuo tipo di approccio, ma non mi considero un mago di teoria dei numeri...danielf ha scritto:grazie!come mi consigli di sistemarlo?
cogito ergo demonstro
il mio messaggio era per Euler che ha commentato una soluzione di valore praticamente nullo con "quasi tutto ok". Cioè, il caso 1 ti sembra ok? Questa non è una dimostrazione, al massimo può essere un insieme di congetture da cui partire
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Sì in effetti bisognava dire un po' di cose che pensavo fossero scontate per danielf, ma ora che l'ho riletto mi sono accorto della frase "...che sinceramente non so spiegare..."...anche quello andrebbe aggiustato, ad esempio osservando che la differenza dei due fattori è 2, da cui si verifica facilmente che p=3
cogito ergo demonstro
potresti intanto postare la tua soluzione?Euler ha scritto:Al momento non mi viene in mente niente, perchè io ho usato un metodo diverso considerando che $ p^x=y^p+1 $ e sviluppando il polinomio escludendo il caso di p=2...vedrò cosa posso fare con il tuo tipo di approccio, ma non mi considero un mago di teoria dei numeri...danielf ha scritto:grazie!come mi consigli di sistemarlo?
Re: p^x-y^p=1
Se $ x=1 $ e $ y\ge 2 $ allora $ y^p+1>2^p>p $, altrimenti $ y=1 $ e otteniamo $ (x,y,p)=(1,1,2) $ soluzione.Euler ha scritto:Determinare tutte le terne (x, y, p) con p primo e x, y interi positivi che verificano l'equazione $ p^x-y^p=1 $
Se $ p=2 $ è un fatto noto che $ y^2+1 $ non è una potenza $ n $-esima, per qualche $ n>1 $. Per il seguito supponiamo $ p\ge 3 $.
Se $ x=2 $ allora abbiamo $ p^2=(y+1)(y^{p-1}-y^{p-2}+\ldots+1) $ per cui deve risultare $ p=y+1=(y^{p-1}-y^{p-2}+\ldots+1)\ge y^{p-2}(y-1)+1 \ge y+1=p $ con uguaglianza se e solo se $ p=3 $ e $ y=2 $; abbiamo ottenuto l'ultima soluzione accettabile $ (x,y,p)=(2,2,3) $.
Se $ x> 2 $ allora $ x=\upsilon_p(p^x)=\upsilon_p(y^p+1)=\upsilon_p(y+1)+\upsilon_p(p)=\upsilon_p(y+1)+1 $, cioè $ \upsilon_p(y+1)=x-1 $. Questo significa che $ p^x=y^p+1^p\ge (p^{x-1}-1)^p+1> p^{p(x-2)} $ $ \implies \frac{x}{x-2}=1+\frac{2}{x-2}>p $, che è falso per ogni $ p\ge 3 $.[]
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: p^x-y^p=1
Domanda... Non si può dare come fatto noto che le uniche due potenze, con basi ed esponenti diversi da 1, che hanno differenza 1 sono 3² e 2³? Dovrebbe essere risaputo...
Re: p^x-y^p=1
Ok, dimostrarlo è leggermente al di sopra delle mie capacità, ma ricorrere a Wiki no. XD
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Mih%C4%83ilescu
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Mih%C4%83ilescu