Limite semplice...dubbio.

[ndp15]

Sisi queste cose al liceo si fanno... e tieni conto che io frequento un Liceo Classico ! xD In effetti sono concetti piuttosto complessi che è facile traviare...ma mi sto impegnando

Strano! (e dico strano perchè noi non li abbiamo nemmeno nominati allo scientifico..)
Cosa fai di preciso? (traduzione: hai visto tutto quello presente qua: http://it.wikipedia.org/wiki/Stima_asintotica ?)

[amatrix92]

Innanzitutto per la legge del contrappasso ho sbagliato il controesempio -- uno che funziona è
$$\infty=\lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x^3}\neq\lim_{x\to 0} \frac{0}{x^3}=0,$$ visto che $\lim_{x\to 0} x^2=0$.

Quindi come puoi vedere questa cosa del sostituire non funziona sempre. Non credo che basti neanche imporre che l'espressione sostituita non faccia 0 (esempio: in $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}$ non puoi rimpiazzare $\cos x$ con 1). Per andare sul sicuro cerca di ricondurti a un teorema noto (de l'Hopital, limiti di somma/prodotto, limiti di funzioni continue), oppure se vuoi fare qualcosa di simile alle sostituzioni usa la notazione di Landau ("o piccoli" e "o grandi"), che ti aiuta a renderti conto di cosa funziona e cosa no.

Non vorrei sembrare presuntuoso e ti assicuro che non lo sono, piuttosto mi definirei confuso.
La notazione di Landau che conosco solo a lievllo nozionistico ma non ho mai applicato non dubito che sia più chiara.
Per quanto riguarda l'esempio "che funziona", per me non funziona xD mi spiego meglio tu scrivi $ \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x^3}=\infty $ e fino a qui ci siamo. Poi scrivi che $ \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x^3}\neq\lim_{x\to 0} \frac{0}{x^3} $ , il che è vero; infatti $ \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x^3}=\lim_{x\to 0} \frac{0^+}{x^3} $ per quanto sia brutto da scrivere. A questo punto ovviamente non è vero che $ \lim_{x\to 0} \frac{0^+}{x^3}=0 $ in quanto è uguale a $ \frac{0^+}{0^+} $ che è una forma di indeterminazione e che quindi potrebbe tranquillamente essere uguale a $ +\infty $.
Era l'esempio sbagliato o forse queste sostituzioni sono lecite?

[fph]

Non vorrei sembrare presuntuoso e ti assicuro che non lo sono, piuttosto mi definirei confuso.

Tranquillo, nessun problema

$ \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x^3}=\lim_{x\to 0} \frac{0^+}{x^3} $ per quanto sia brutto da scrivere. A questo punto ovviamente non è vero che $ \lim_{x\to 0} \frac{0^+}{x^3}=0 $ in quanto è uguale a $ \frac{0^+}{0^+} $ che è una forma di indeterminazione e che quindi potrebbe tranquillamente essere uguale a $ +\infty $.
Era l'esempio sbagliato o forse queste sostituzioni sono lecite?

Ok, allora il punto è che abbiamo un'idea diversa di cosa vuol dire "sostituire". Per me significa sostituire il limite, in questo caso 0, e allora viene $ \frac{0}{x^3} $, che fa 0 per tutti gli $x\neq 0$, e quindi $\lim_{x\to 0} 0 =0$. Per te invece "sostituire" significa scrivere un simbolo $0^+$ che indica "qualcosa che converge a zero" (tralasciamo il problema di convergere da destra o da sinistra che non è importante in questo caso). Non è una sostituzione algebrica, è qualcosa di diverso che andrebbe definito per bene (cosa che immagino non abbiate fatto a scuola). Si riesce a definire bene? Sì, perché è una piccola parte della notazione di Landau: il tuo $0^+$ è quello che con gli o piccoli si chiama $o(1)$. Però a questo punto con la tua notazione non mi è chiaro che
$$
\lim (1+1^{+}\cdot2x)^{\frac1{2x}}=e,
$$
perché quello non è un semplice uno ma un simbolo che rappresenta una funzione che ha un certo limite. Nota per esempio che in
$$
\lim (\frac{e^x-1}{x}+2x)^{\frac1{2x}}
$$
non puoi scrivere 1 al posto di $\frac{e^x-1}{x}$, quindi il punto è delicato.

[SkZ]

alla fine e' lo stesso problema con gli sviluppi: quando li usi devi essere certo di fermarti allo stesso grado per tutti, ovvero gli o piccoli trascurati siano omogenei tra loro

[paga92aren]

$$
\lim (\frac{e^x-1}{x}+2x)^{\frac1{2x}}
$$
non puoi scrivere 1 al posto di $\frac{e^x-1}{x}$, quindi il punto è delicato.

tu come lo risolveresti questo limite? dovrebbe essere maggiore di $e^{\frac{5}{8}}$ ma non so come trattarlo....

[fph]

$$
\lim (\frac{e^x-1}{x}+2x)^{\frac1{2x}}
$$
non puoi scrivere 1 al posto di $\frac{e^x-1}{x}$, quindi il punto è delicato.

tu come lo risolveresti questo limite? dovrebbe essere maggiore di $e^{\frac{5}{8}}$ ma non so come trattarlo....

Con Taylor e o piccoli è facile. Senza, usa la tecnica che suggeriva Skz per l'altro limite: estrai il logaritmo, poi usi De l'Hopital. Dovrebbe fare $e^{5/4}$.