Il caso al teatro
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Il caso al teatro
posto qui un problema che mi è stato posto da un mio amico, che non richiede soluzione numerica a causa della laboriosità dei conti, ma l'impostazione è sufficente ( se qualcuno trova un metodo per svolgere tutti i calcoli, lo posti pure...). Io l'ho risolto credo, ma non so se correttamente.
Un teatro ha 200 posti che sono tutti prenotati.Gli spettatori entrano in fila e il primo si siede in un posto a caso. Gli altri, entrando sempre uno dopo l'altro, si siedono ai loro posti finchè non arriva il possessore del posto "rubato" dal primo ( sempre che il primo abbia rubato il posto a qualcuno...) che si va a sedere in un posto a caso. Tutti quelli che vengono dopo lo spettatore defraudato del suo posto, si siedono a casaccio. Determinare qual'è la probabilità che l'ultimo entrato si sieda al suo posto.
Spero di essere stato chiaro, buon lavoro
Un teatro ha 200 posti che sono tutti prenotati.Gli spettatori entrano in fila e il primo si siede in un posto a caso. Gli altri, entrando sempre uno dopo l'altro, si siedono ai loro posti finchè non arriva il possessore del posto "rubato" dal primo ( sempre che il primo abbia rubato il posto a qualcuno...) che si va a sedere in un posto a caso. Tutti quelli che vengono dopo lo spettatore defraudato del suo posto, si siedono a casaccio. Determinare qual'è la probabilità che l'ultimo entrato si sieda al suo posto.
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- karlosson_sul_tetto
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Re: Il caso al teatro
Piccola domanda: dopo quello a cui hanno "rubato" il posto, ognuno ch viene si siede al suo posto, se è libero, oppure siede a casaccio?minima.distanza ha scritto:posto qui un problema che mi è stato posto da un mio amico, che non richiede soluzione numerica a causa della laboriosità dei conti, ma l'impostazione è sufficente ( se qualcuno trova un metodo per svolgere tutti i calcoli, lo posti pure...). Io l'ho risolto credo, ma non so se correttamente.
Un teatro ha 200 posti che sono tutti prenotati.Gli spettatori entrano in fila e il primo si siede in un posto a caso. Gli altri, entrando sempre uno dopo l'altro, si siedono ai loro posti finchè non arriva il possessore del posto "rubato" dal primo ( sempre che il primo abbia rubato il posto a qualcuno...) che si va a sedere in un posto a caso. Tutti quelli che vengono dopo lo spettatore defraudato del suo posto, si siedono a casaccio. Determinare qual'è la probabilità che l'ultimo entrato si sieda al suo posto.
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Re: Il caso al teatro
Dopo che viene quello a cui è stato rubato il posto dal primo arrivato ( che si siede a caso), tutti si siedono a caso. Compreso quello a cui hanno rubato il posto
- karlosson_sul_tetto
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Re: Il caso al teatro
Ok, grazieminima.distanza ha scritto:Dopo che viene quello a cui è stato rubato il posto dal primo arrivato ( che si siede a caso), tutti si siedono a caso. Compreso quello a cui hanno rubato il posto
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- karlosson_sul_tetto
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Re: Il caso al teatro
Dato che nessuno risponde, faccio un misero tentativo:
E sbagliata, vero?Prima poniao il caso che il possessore del posto rubato(chiamiamolo: PI) sia l'ultimo. Quindi la probabilità è zero.
Se il PI è il penultimo, la probabilità è 1/2.
Se il PI è il terz'ultimo, la probabilità è 2/3 x 1/2= 1/3.
Se il PI è il quart''ultimo, la probabilità è 3/4x2/3 x 1/2= 1/4.
E cosi via.
Se invece, il primo si siede al suo posto(con una probabilità di 1/200) allora la probabilità che l'ultimo si sieda al suo posto è 1. 1x 1/200= 1/200
Si ha quindi una successione numerica:
1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/198+1/199+1/200
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Re: Il caso al teatro
ehm... devo pensarci lo avevo risolto, ma ho perso il foglio con la soluzione che avevo fatto, che pensavo di avere sottomano... Se intanto qualcuno vuole controllare o confermare, non è che sia bravissimo in questo tipo di problemi...Prima poniao il caso che il possessore del posto rubato(chiamiamolo: PI) sia l'ultimo. Quindi la probabilità è zero.
Se il PI è il penultimo, la probabilità è 1/2.
Se il PI è il terz'ultimo, la probabilità è 2/3 x 1/2= 1/3.
Se il PI è il quart''ultimo, la probabilità è 3/4x2/3 x 1/2= 1/4.
E cosi via.
Se invece, il primo si siede al suo posto(con una probabilità di 1/200) allora la probabilità che l'ultimo si sieda al suo posto è 1. 1x 1/200= 1/200
Si ha quindi una successione numerica:
1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/198+1/199+1/200
- karlosson_sul_tetto
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Re: Il caso al teatro
Mio fratello mi aveva detto che il risultato era 1/2, ma a me il risultato è maggiore di 1, quindi sicuramente avrò sbagliato qualcosaminima.distanza ha scritto: ehm... devo pensarci lo avevo risolto, ma ho perso il foglio con la soluzione che avevo fatto, che pensavo di avere sottomano... Se intanto qualcuno vuole controllare o confermare, non è che sia bravissimo in questo tipo di problemi...
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Re: Il caso al teatro
Hint: una piccola induzione è sufficiente. Ecco il perché dell'$ \frac 1 2 $.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
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- karlosson_sul_tetto
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Re: Il caso al teatro
Chiamami idiota, ma non ho capito l'hint<enigma> ha scritto:Hint: una piccola induzione è sufficiente. Ecco il perché dell'$ \frac 1 2 $.
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Re: Il caso al teatro
Il possessore del posto rubato può trovarsi in qualsiasi posizione tranne che primo, con la stessa probabilità, quindi la probabilità che si trovi in una qualsiasi posizione è $ \frac1{199} $.
Adesso se è secondo abbiamo che tutti si siedono a caso, la probabilità che la poltrona dell'ultimo venga lasciata libera è uguale alla probabilità che qualsiasi altra poltrona(che adesso sono 199) venga lasciata libera quindi $ \frac1{199} $, se è terzo la probabilità dovrebbe essere $ \frac1{198} $ e così via fino a $ \frac12 $.
Quindi la probabilità dovrebbe essere $ \displaystyle \frac1{199}\sum_{k=2}^{199}{\frac1k} $
Dove sbaglio?
Adesso se è secondo abbiamo che tutti si siedono a caso, la probabilità che la poltrona dell'ultimo venga lasciata libera è uguale alla probabilità che qualsiasi altra poltrona(che adesso sono 199) venga lasciata libera quindi $ \frac1{199} $, se è terzo la probabilità dovrebbe essere $ \frac1{198} $ e così via fino a $ \frac12 $.
Quindi la probabilità dovrebbe essere $ \displaystyle \frac1{199}\sum_{k=2}^{199}{\frac1k} $
Dove sbaglio?
- karlosson_sul_tetto
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Re: Il caso al teatro
Infatti ci viene la stessa cosa, ma si deve contare ache ill caso in cui il primosi sieda al suo posto ($ \frac{1}{200} $).Claudio. ha scritto:Il possessore del posto rubato può trovarsi in qualsiasi posizione tranne che primo, con la stessa probabilità, quindi la probabilità che si trovi in una qualsiasi posizione è $ \frac1{199} $.
Adesso se è secondo abbiamo che tutti si siedono a caso, la probabilità che la poltrona dell'ultimo venga lasciata libera è uguale alla probabilità che qualsiasi altra poltrona(che adesso sono 199) venga lasciata libera quindi $ \frac1{199} $, se è terzo la probabilità dovrebbe essere $ \frac1{198} $ e così via fino a $ \frac12 $.
Quindi la probabilità dovrebbe essere $ \displaystyle \frac1{199}\sum_{k=2}^{199}{\frac1k} $
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Re: Il caso al teatro
Si, tu avevi dimenticato di dividere; quindi dovrebbe essere $ \displaystyle \frac1{200}\sum_{k=1}^{199}{\frac1k} $, ma non è corretto...
- karlosson_sul_tetto
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Re: Il caso al teatro
Scusa la mia ignoranza, ma perché si dovrebbe dividere?Claudio. ha scritto:Si, tu avevi dimenticato di dividere
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Re: Il caso al teatro
Perchè è la somma di tutte le probabilità. Adesso la probabilità che l'ultimo prenda il suo posto quando il possessore del posto rubato è secondo, è uguale alla probabilità che il possessore sia secondo per la probabilità che dopo che questo accade l'ultimo prenda il suo posto, quindi 1/200·1/199, quel 1/200 ci sarà per tutti i casi, quindi lo metti in evidenza.
Quando dividi i casi, e calcoli la probabilità per un determinato caso, poi in generale devi moltiplicare per la probabilità che quel caso accada.
Poi come hai detto tu, la tua probbilità è maggiore di 1....quindi hai dimenticato necessariamente qualcosa, e intuitivamente bisogna dividere per qualcosa ^^
Comunque qualcuno ci corregga!
Quando dividi i casi, e calcoli la probabilità per un determinato caso, poi in generale devi moltiplicare per la probabilità che quel caso accada.
Poi come hai detto tu, la tua probbilità è maggiore di 1....quindi hai dimenticato necessariamente qualcosa, e intuitivamente bisogna dividere per qualcosa ^^
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I mirabolanti prodigi della tecnica
Vi comunico che, dalla riapertura del forum, è possibile nascondere le soluzioni in questo modo:
Pertanto non è più necessario colorare in bianco, grigino o azzurrino le soluzioni. Per farlo basta usare [ hide]testo da nascondere[ /hide] (senza spazio). Trovate il tasto hide nell'editor del messaggio tra i tasti "Font colour" e "tex".
Ora potete esultare per il progresso tecnologico e ringraziare fph.
Testo nascosto:
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