poly rubacuori (puttnam 2010)

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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ma_go
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poly rubacuori (puttnam 2010)

Messaggio da ma_go » 24 gen 2011, 23:38

trovare tutte le coppie di polinomi $p,q$ a coefficienti reali tali che:
$p(x)q(x+1)-p(x+1)q(x)=1$.

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fraboz
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Re: poly rubacuori (puttnam 2010)

Messaggio da fraboz » 18 mar 2011, 19:17

hint?

dario2994
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Re: poly rubacuori (puttnam 2010)

Messaggio da dario2994 » 18 mar 2011, 20:33

Testo nascosto:
Prova a trattarla tipo funzionale e piazzare x+1 al posto di x...
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

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fraboz
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Re: poly rubacuori (puttnam 2010)

Messaggio da fraboz » 21 mar 2011, 18:39

ragazzi mi arrendo :cry: qualcuno potrebbe postare una soluzione elementare

paga92aren
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Re: poly rubacuori (puttnam 2010)

Messaggio da paga92aren » 21 mar 2011, 19:04

Inizio a postare qualcosa...
Uso la sostituzione $x:=x+1$ e poi faccio la differenza tra $p(x+1)q(x+2)-p(x+2)q(x+1)=1$ e il testo: $p(x+1)(q(x+2)+q(x))=q(x+1)(p(x+2)+p(x))$.
Sapendo che $(p,q)=1$ posso concludere che le soluzioni sono del tipo: $p(x+2)+p(x)=kp(x+1)$.....poi ci penso....

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<enigma>
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Re: poly rubacuori (puttnam 2010)

Messaggio da <enigma> » 21 mar 2011, 19:10

paga92aren ha scritto:Uso la sostituzione $x:=x+1$
Non è corretto scrivere così perché vuol dire "x uguale per definizione a x+1"; semmai $ x \mapsto x+1 $ (ok è una sottigliezza ma dopotutto questo è un forum di matematica)
Ultima modifica di <enigma> il 23 lug 2011, 14:34, modificato 1 volta in totale.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)

paga92aren
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Re: poly rubacuori (puttnam 2010)

Messaggio da paga92aren » 21 mar 2011, 19:35

Grazie, non lo sapevo. A scuola ho imparato che $:=$, in ambito informatico, è l'assegnazione cioè "sostituisco a $x$ il valore $x+1$"

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fraboz
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Re: poly rubacuori (puttnam 2010)

Messaggio da fraboz » 21 mar 2011, 20:55

paga92aren ha scritto:Sapendo che (p,q)=1 posso concludere che le soluzioni sono del tipo: p(x+2)+p(x)=kp(x+1).....poi ci penso....
anch'io avevo iniziato così poi però mi sono accorto che stavo considerando solo $ \mathbb {Z} $...

paga92aren
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Re: poly rubacuori (puttnam 2010)

Messaggio da paga92aren » 22 mar 2011, 13:47

Si riesce a sistemare: scompongo i polinomi $p,q$ in R (la scomposizione è unica a meno di costanti), se esiste $r(x)$ polinomio irriducibile in R che è contenuto in $p$ e $q$ allora posso raccogliere e ottengo che $r(x)k(x)=1$ per ogni $x$ e un'opportuno polinomio $k$, ciò vale solo se $r(x)=a$ con $a$ reale.

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