poly rubacuori (puttnam 2010)

[ma_go]

trovare tutte le coppie di polinomi $p,q$ a coefficienti reali tali che:
$p(x)q(x+1)-p(x+1)q(x)=1$.

[fraboz]

hint?

[dario2994]

Testo nascosto:

Prova a trattarla tipo funzionale e piazzare x+1 al posto di x...

[fraboz]

ragazzi mi arrendo qualcuno potrebbe postare una soluzione elementare

[paga92aren]

Inizio a postare qualcosa...
Uso la sostituzione $x:=x+1$ e poi faccio la differenza tra $p(x+1)q(x+2)-p(x+2)q(x+1)=1$ e il testo: $p(x+1)(q(x+2)+q(x))=q(x+1)(p(x+2)+p(x))$.
Sapendo che $(p,q)=1$ posso concludere che le soluzioni sono del tipo: $p(x+2)+p(x)=kp(x+1)$.....poi ci penso....

[<enigma>]

Uso la sostituzione $x:=x+1$

Non è corretto scrivere così perché vuol dire "x uguale per definizione a x+1"; semmai $ x \mapsto x+1 $ (ok è una sottigliezza ma dopotutto questo è un forum di matematica)

[paga92aren]

Grazie, non lo sapevo. A scuola ho imparato che $:=$, in ambito informatico, è l'assegnazione cioè "sostituisco a $x$ il valore $x+1$"

[fraboz]

Sapendo che (p,q)=1 posso concludere che le soluzioni sono del tipo: p(x+2)+p(x)=kp(x+1).....poi ci penso....

anch'io avevo iniziato così poi però mi sono accorto che stavo considerando solo $ \mathbb {Z} $...

[paga92aren]

Si riesce a sistemare: scompongo i polinomi $p,q$ in R (la scomposizione è unica a meno di costanti), se esiste $r(x)$ polinomio irriducibile in R che è contenuto in $p$ e $q$ allora posso raccogliere e ottengo che $r(x)k(x)=1$ per ogni $x$ e un'opportuno polinomio $k$, ciò vale solo se $r(x)=a$ con $a$ reale.