Sembra un Romanian ma non lo è! (invece è il problema 98)

[Anér]

Dato un intero positivo $n=\prod_{i=1}^s p_i^{\alpha_i}$ chiamiamo $\Omega (n)$ il numero totale $\sum_{i=1}^s \alpha_i$ di fattori primi di $n$, contati con molteplicità. Sia $\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}$ (dunque, per esempio, $\lambda (12)=\lambda (2^2\cdot 3^1)=(-1)^{2+1}=-1$).

Sia infine $S(m)=\sum_{i=1}^m \lambda (i)\cdot \lfloor\frac{m}{i}\rfloor$.

1) Si dimostri che $S(m)\geq 0$ per ogni $m$ intero positivo;
2) Sapete trovare una formula più semplice per $S(m)$?

[<enigma>]

Chi mi dimostra che $ T(m):=\sum _{i=1} ^m \lambda (i) \leq 0 $ per ogni $ m \in \mathbb N ^\ast $?

[Anér]

Wow! Hai una dimostrazione elementare dell'ultimo fatto?

[Nabir Albar]

È falso: $T(1)>0$...
Non ti basta? $T(906150257)>0$

[<enigma>]

È falso: $T(1)>0$...
Non ti basta? $T(906150257)>0$

Argh! Lo scherzo non ha neanche raggiunto le due settimane!

[dario2994]

È falso: $T(1)>0$...
Non ti basta? $T(906150257)>0$

Argh! Lo scherzo non ha neanche raggiunto le due settimane!

Giusto il tempo di farsi a manina i conti fino a $n=906150257$ e scoprire che era una burla

[Anér]

Che delusione! Intendo che è stato Nabir Albar, o meglio il suo 906150257 a deludermi (non lo scherzo di <enigma>, anzi c'ero proprio cascato!). Infatti avevo prima cercato di dimostrare proprio la disuguaglianza di <enigma>, poi, disperando, ho aggiunto i coefficienti che aggiustano un po' le cose.
Sentite, visto che mi tocca proporre un problema per la staffetta e non ho idee e questo problema ancora nessuno lo ha risolto, facciamo che diventa il prossimo problema. Cambio anche il nome dell'argomento.

[<enigma>]

Per non essere inutile fino in fondo: click!

[jordan]

Dato un intero positivo $n=\prod_{i=1}^s p_i^{\alpha_i}$ chiamiamo $\Omega (n)$ il numero totale $\sum_{i=1}^s \alpha_i$ di fattori primi di $n$, contati con molteplicità. Sia $\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}$ (dunque, per esempio, $\lambda (12)=\lambda (2^2\cdot 3^1)=(-1)^{2+1}=-1$).

Sia infine $S(m)=\sum_{i=1}^m \lambda (i)\cdot \lfloor\frac{m}{i}\rfloor$.

1) Si dimostri che $S(m)\geq 0$ per ogni $m$ intero positivo;
2) Sapete trovare una formula più semplice per $S(m)$?

Woah, mi è uscita la soluzione in più o meno 5 minuti

a) $\lambda(\cdot)$ è moltiplicativa, e vale $S(1)=1$. E' sufficiente mostrare che $S(m+1)\ge S(m)$ per ogni intero positivo $m$. Abbiamo $S(m+1)-S(m)=\displaystyle \sum_{1\le i\le m+1}{\lambda(i)\left(\lfloor\frac{m+1}{i}\rfloor -\lfloor\frac{m}{i}\rfloor \right)}$ (infatti $\lfloor \frac{m}{m+1}\rfloor =0$). Notiamo che il fattore $\left(\lfloor\frac{m+1}{i}\rfloor -\lfloor\frac{m}{i}\rfloor \right)$ vale $1$ se $i\mid m+1$, altrimenti è nullo. Quindi $S(m+1)-S(m)=\sum_{j\mid m+1}{\lambda(j)}$. Detta $\displaystyle \prod_{1\le i\le k}{p_i^{\alpha_i}}$ la fattorizzazione di $m+1$, poichè $\lambda(\cdot)$ è moltiplicativa, vale anche $\displaystyle S(m+1)-S(m)=\prod_{1\le i\le k}{\left(\sum_{0\le t\le \alpha_i}{\lambda(p_i^t)}\right)}$. Adesso $\sum_{0\le t\le \alpha_i}{\lambda(p_i^t)}$ vale $1$ se $2\mid \alpha_i$, altrimenti è nullo. In particolare $S(m+1)\ge S(m)$ per ogni intero positivo $m$ e $S(1)>0$.

b) Proseguendo con quanto osservato prima, $S(m+1)-S(m)$ vale $1$ se $m+1$ è un quadrato perfetto, altrimenti è nullo (poichè esisterebbe $p\in \mathbb{P}$ tale che $2\nmid \upsilon_p(m+1)$). Questo è sufficiente a concludere che $S(m)=\lfloor \sqrt{m} \rfloor$. []

[jordan]

Sulla stessa strada..

Per ogni intero $ n>0 $ e primo $ q\in \mathbb{P} $ definiamo:

• $\lambda_q(n):=0$ se esiste $p\in \mathbb{P}$ tale che $q\nmid \upsilon_p^2(n)-\upsilon_p(n)$
  $\lambda_q(n):=1$ se $2\mid \left|\{p\in \mathbb{P}:\displaystyle \frac{\upsilon_p(n)-1}{q}\in \mathbb{Z}\} \right|$
  $\lambda_q(n):=-1$ se $2\nmid \left|\{p\in \mathbb{P}:\displaystyle \frac{\upsilon_p(n)-1}{q}\in \mathbb{Z}\} \right|$

Definita $\displaystyle S(m):=\sum_{1\le i\le m}{\lambda_q(i)\lfloor \frac{m}{i}\rfloor}$, allora vale $S(m)=\lfloor \sqrt[q]{m} \rfloor$.

[Valenash]

Dannazione!! mi hai battuto sul tempo..maledetta scuola, se oggi fossi stato ancora in vacanza l'avrei scritta stamattina XD
la mia era quasi uguale, prima dimostravo che $S(m)=\lfloor \sqrt{m} \rfloor$ che implicava la 1).

[jordan]

Poco male, proponi tu il prossimo
Ps. senza farci aspettare 15 giorni -.-

[Valenash]

Va bene, grazie mille.. allora vedrò di trovare un bel problema da proporre in un paio di giorni massimo =)