Staffetta47. f(x)=n ha sempre soluzione in Q
Staffetta47. f(x)=n ha sempre soluzione in Q
Trovare tutti i polinomi f(x) tali che f(x)=n ha almeno una soluzione razionale per ogni intero n>0.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Staffetta47. f(x)=n ha sempre soluzione in Q
E' passato più di un mese... Jordan metti la tua soluzione e posta un altro problema
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Staffetta47. f(x)=n ha sempre soluzione in Q
Piazzo la soluzione.
Intanto se il grado del polinomio è d e scelgo $q_1, \cdots, q_{d+1}$ razionali tali che $f(q_i)=i\quad \forall 1\leq i \leq d+1$, allora il polinomio ha coefficienti che risolvono un sistema in d+1 equazioni e d+1 incognite a determinante (di Vandermonde) non nullo, dunque risolvono un sistema di equazioni a coefficienti razionali, dunque i coefficienti di f sono razionali.
Supponiamo ora che d sia maggiore di 1. Allora posso moltiplicare f per il minimo comune multiplo M dei denominatori dei suoi coefficienti e ottenere il polinomio Mf che ha almeno una radice razionale per ogni multiplo di M. Tuttavia è ben noto che se q è radice razionale di $Mf(x)-kM$, visto che quest'ultimo è un polinomio a coefficienti interi deve valere che il denominatore di q divide quello del coefficiente direttivo di Mf(x)- km, dunque l'insieme dei possibili valori di q è discreto, anzi due elementi distinti distano sempre almeno in certo valore $\varepsilon$ che poi è il reciproco del coefficiente direttivo.
D'altra parte il polinomio $Mf(x+\varepsilon)-Mf(x)$ è almeno di primo grado, dunque non costante, e perciò il suo limite ad infinito è infinito. Questo significa che prima o poi passando da una frazione di denominatore buono alla successiva il corrispondente valore di f cambia di più di 100M, dunque anche considerando sia cosa succede verso più infinito che cosa succede verso meno infinito, c'è un multiplo di M che viene "scavalcato". Quello che sto cercando di dire e non mi riesce di esprimere è che un polinomio di grado maggiore o uguale a 2 da un certo punto in poi, ovvero in un certo intorno di $+\infty$ e in un certo intorno di $-\infty$, cresce tropo in fretta (oltre, non dimentichiamolo, a diventare monotono), per cui ci sono mupltipli di M che passando da una frazione buona a quella successiva non vengono raggiunti; tali valori sono infiniti e perciò non vengono raggiunti tutti nemmeno nelle vicinanze dello 0. Insomma non esiste un razionale che raggiunge tali valori, per cui il polinomio f non soddisfa le ipotesi.
Se invece f(x)=ax+b con a e b razionali, e a non nullo, allora f(x)=n per $x=\frac{n-b}{a}\in\mathbb{Q}$.
Dunque i polinomi f cercati sono tutti e soli quelli di primo grado a coefficienti razionali (i polinomi costanti ovviamente non funzionano).
Intanto se il grado del polinomio è d e scelgo $q_1, \cdots, q_{d+1}$ razionali tali che $f(q_i)=i\quad \forall 1\leq i \leq d+1$, allora il polinomio ha coefficienti che risolvono un sistema in d+1 equazioni e d+1 incognite a determinante (di Vandermonde) non nullo, dunque risolvono un sistema di equazioni a coefficienti razionali, dunque i coefficienti di f sono razionali.
Supponiamo ora che d sia maggiore di 1. Allora posso moltiplicare f per il minimo comune multiplo M dei denominatori dei suoi coefficienti e ottenere il polinomio Mf che ha almeno una radice razionale per ogni multiplo di M. Tuttavia è ben noto che se q è radice razionale di $Mf(x)-kM$, visto che quest'ultimo è un polinomio a coefficienti interi deve valere che il denominatore di q divide quello del coefficiente direttivo di Mf(x)- km, dunque l'insieme dei possibili valori di q è discreto, anzi due elementi distinti distano sempre almeno in certo valore $\varepsilon$ che poi è il reciproco del coefficiente direttivo.
D'altra parte il polinomio $Mf(x+\varepsilon)-Mf(x)$ è almeno di primo grado, dunque non costante, e perciò il suo limite ad infinito è infinito. Questo significa che prima o poi passando da una frazione di denominatore buono alla successiva il corrispondente valore di f cambia di più di 100M, dunque anche considerando sia cosa succede verso più infinito che cosa succede verso meno infinito, c'è un multiplo di M che viene "scavalcato". Quello che sto cercando di dire e non mi riesce di esprimere è che un polinomio di grado maggiore o uguale a 2 da un certo punto in poi, ovvero in un certo intorno di $+\infty$ e in un certo intorno di $-\infty$, cresce tropo in fretta (oltre, non dimentichiamolo, a diventare monotono), per cui ci sono mupltipli di M che passando da una frazione buona a quella successiva non vengono raggiunti; tali valori sono infiniti e perciò non vengono raggiunti tutti nemmeno nelle vicinanze dello 0. Insomma non esiste un razionale che raggiunge tali valori, per cui il polinomio f non soddisfa le ipotesi.
Se invece f(x)=ax+b con a e b razionali, e a non nullo, allora f(x)=n per $x=\frac{n-b}{a}\in\mathbb{Q}$.
Dunque i polinomi f cercati sono tutti e soli quelli di primo grado a coefficienti razionali (i polinomi costanti ovviamente non funzionano).
Ultima modifica di Anér il 31 ago 2012, 12:18, modificato 1 volta in totale.
Sono il cuoco della nazionale!
Re: Staffetta47. f(x)=n ha sempre soluzione in Q
Ecco il nuovo problema
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