dopo lungo tempo posto il nuovo problema, e premetto che è la parte più difficile della mia soluzione al problema 6 del balkan TST di quest'anno:
trovare tutte le funzioni $f:\mathbb Q^+\rightarrow\mathbb Q^+$ tali che
1)$f(xy)=f(x)f(y)$
2)$f(x)f(f(x))^2=x^3$
BONUS: trovare tutte le funzioni solo con la condizione 2. Lo metto come bonus perchè credo di averlo risolto ma non ho ancora controllato per bene, quindi non mi fido a piazzarlo come problema principale
staffetta problema 49
staffetta problema 49
Ultima modifica di patatone il 16 lug 2011, 22:47, modificato 1 volta in totale.
Re: staffetta problema 49
Mi ero dimenticato di scriverla, la piazzo così se è sbagliata almeno mi dite dove.
Pongo $x=y=1$ in (1) e ottengo $f(1)=1$.
Pongo $x=n, y=\frac{1}{n}$ in (1) e ottengo $f(\frac{1}{n}=\frac{1}{f(n)}$.
Pongo $x=a, y=\frac{1}{b}$ in (1) e ottengo $f(\frac{a}{b})\frac{f(a)}{f(b)}$. (*)
Passo a (2) limitandomi ai naturali. Sia $p$ un primo, allora $f(p)\mid p^3\rightarrow f(p)\in {1,p,p^2,p^3}$. Se $f(p)=1\rightarrow$ assurdo sostituendo in (2) (sarebbe $p^3=1$), se $f(p)=p^2$ di nuovo assurdo in (2) ($f(f(p))^2=p$), se $f(p)=p^3$ è ancora assurdo ($f(p^3)=1$ e sostituisco $x=p$). Allora $f(p)=p$ e tornando a (1) (che uso ripetutamente)
$$f(n)=f(p_1^{\alpha_1}\cdot\dots\cdot p_k^{\alpha_k})=f(p_1)^{\alpha_1}\cdot\dots\cdot f(p_k)^{\alpha_k}=n$$ che soddisfa.
A questo punto per passare ai razionali è sufficiente usare la (*) $\rightarrow f(n)=n$ per $n$ razionale positivo.
Pongo $x=y=1$ in (1) e ottengo $f(1)=1$.
Pongo $x=n, y=\frac{1}{n}$ in (1) e ottengo $f(\frac{1}{n}=\frac{1}{f(n)}$.
Pongo $x=a, y=\frac{1}{b}$ in (1) e ottengo $f(\frac{a}{b})\frac{f(a)}{f(b)}$. (*)
Passo a (2) limitandomi ai naturali. Sia $p$ un primo, allora $f(p)\mid p^3\rightarrow f(p)\in {1,p,p^2,p^3}$. Se $f(p)=1\rightarrow$ assurdo sostituendo in (2) (sarebbe $p^3=1$), se $f(p)=p^2$ di nuovo assurdo in (2) ($f(f(p))^2=p$), se $f(p)=p^3$ è ancora assurdo ($f(p^3)=1$ e sostituisco $x=p$). Allora $f(p)=p$ e tornando a (1) (che uso ripetutamente)
$$f(n)=f(p_1^{\alpha_1}\cdot\dots\cdot p_k^{\alpha_k})=f(p_1)^{\alpha_1}\cdot\dots\cdot f(p_k)^{\alpha_k}=n$$ che soddisfa.
A questo punto per passare ai razionali è sufficiente usare la (*) $\rightarrow f(n)=n$ per $n$ razionale positivo.
Ultima modifica di Sonner il 16 lug 2011, 20:30, modificato 1 volta in totale.
Re: staffetta problema 49
mmm non mi sembra che tu possa passare dai razionali ai naturali cosi bellamente....
Re: staffetta problema 49
e perche' no? una volta saputo come funziona sui naturali,sappiamo anche quanto vale sui razionali grazie alla proprietà (*)patatone ha scritto:mmm non mi sembra che tu possa passare dai razionali ai naturali cosi bellamente....
a me sembra giusta
Re: staffetta problema 49
non è questo il punto, il punto è che non puoi assumere che $f(n)\in\mathbb N$ se $n\in\mathbb N$... lui ha assunto $f(p)$ naturale, ma questo non è assolutamente scontato!
Re: staffetta problema 49
Sì infatti ieri mi è venuto in mente
Non so se ci sono speranze di aggiustarla, in ogni caso ho trovato quest'altra che non mi sarei mai aspettato di trovare
Pongo $g(x)=\frac{f(x)}{x}$, (1) diventa $g(xy)=g(x)g(y)$, (2) diventa $g(x)^5g(g(x))^2=1 \rightarrow g(x)=h_1(x)^2$ (sostituendo e sfruttando la moltiplicatività) per una certa funzione $h_1$. Sostituendo in (2) trovo $h_1(x)^5h_1(h_1(x))^2=1$ che è la stessa di prima, da qui è una banalissima induzione dimostrare che per ogni $n$ esiste $h_n$ moltiplicativa tale che $h_{n-1}(x)=h_{n}(x)^2$ per ogni $x$ e tale per cui valga $h_n(x)^5h_n(h_n(x))^{2n}=1$, ma questo è assurdo (infatti se $a=g(b), a$ dovrebbe essere potenza $2^n-$esima per $n$ grande a piacere) a meno che $g(x)=1$ per ogni $x \rightarrow f(x)=x$.
Non so se ci sono speranze di aggiustarla, in ogni caso ho trovato quest'altra che non mi sarei mai aspettato di trovare
Pongo $g(x)=\frac{f(x)}{x}$, (1) diventa $g(xy)=g(x)g(y)$, (2) diventa $g(x)^5g(g(x))^2=1 \rightarrow g(x)=h_1(x)^2$ (sostituendo e sfruttando la moltiplicatività) per una certa funzione $h_1$. Sostituendo in (2) trovo $h_1(x)^5h_1(h_1(x))^2=1$ che è la stessa di prima, da qui è una banalissima induzione dimostrare che per ogni $n$ esiste $h_n$ moltiplicativa tale che $h_{n-1}(x)=h_{n}(x)^2$ per ogni $x$ e tale per cui valga $h_n(x)^5h_n(h_n(x))^{2n}=1$, ma questo è assurdo (infatti se $a=g(b), a$ dovrebbe essere potenza $2^n-$esima per $n$ grande a piacere) a meno che $g(x)=1$ per ogni $x \rightarrow f(x)=x$.
Re: staffetta problema 49
ora si che funziona! Bravo
Tra l'altro credo che la mia fosse uguale! Dico credo perchè ho la brutta abitudine di risolvere i problemi su fogli volanti che poi spariscono sempre, ed a distanza di un paio di settimane non ricordo esattamente tutto
Vai pure col prossimo problema!
Tra l'altro credo che la mia fosse uguale! Dico credo perchè ho la brutta abitudine di risolvere i problemi su fogli volanti che poi spariscono sempre, ed a distanza di un paio di settimane non ricordo esattamente tutto
Vai pure col prossimo problema!
Re: staffetta problema 49
Bene Allora qui il nuovo problema.