pendiamo un dodecaedro regolare di lato x.
Ora scegliamo una faccia e due vertici del pentagono adiacenti (sullo stesso spigolo). Disegnamo tutte le diagonali interne al dodecaedro da questi due vertici. (10 da ogni vertice). Ora, sempre nella stessa faccia pentagonale, dal vertice opposto al segmento che unisce i due punti disegnamo tutte le diagonali interne al dodecaedro. Tutte queste 30 si intersecano tra di loro.
1) quanti sono i punti di intersezione in cui concorrono 2 o 3 diagonali?
2) determinare il numero di trapezi ottenibili simili tra loro
3) dimostrare che tra tutti questi punti ve ne sono 4 che sono i vertici di un tetraedro regolare, determinare la lunghezza del suo spigolo in funzione di x.
4) determinato il piano di simmetria di tutti i punti, dimostrare che per ogni semispazio esistono 5 punti che stanno su uno stesso piano di cui 4 sono i vertici di un quadrato e il quinto il suo centro. Dimostrare le perpendicolari al piano di questi 2 quadrati nel loro centro si intersecano in un vertice P del tetraedro costruito in precedenza che noi chiamiamo centro spaziale
5) determinare il lato dei quadrati e l'angolo diedro formato dai piani che contengono i due quadrati.
6) dimostrare che unendo due vertici del tetraedro con altri due opportuni vertici sui due quadrati (uno su uno e uno sull'altro) otteniamo un'altro quadrato.
7)tracciamo il segmento di minima distanza tra i due quadrati.
Dimostrare che il segmento di minima distanza ha lunghezza uguale a quella del lato dei 2 quadrati del punto 4) e dimotrare che per i vertici di questo segmento di minima distanza e i vertici di un'oppotuno segmento condotto da un vertice di un quadrato a quello corrispondente dell'altro passa un pentagono!
8 ) costruiamo in entrambi i semispazi il cubo con faccia il quadrato del punto 4) e rivolti verso il punto P. Dimostrare che questi 2 cubi hanno un vertice che appartiene a uno spigolo del tetraedro del punto 3).
9)costruiamo anche il cubo che ha per faccia il quadrato del punto 6) in modo che esso contenza il tetraedro del punto 3).
dimostrare che questo cubo è inscritto nel dodecaedro che ha come faccia il pentagono del punto 7) e rivolto verso P e che gli spigoli del cubo sono diagonali del dodecaedro.
10) dimostrare che il cubo del punto 9) interseca i due cubi del punto 8 in modo che un suo spigolo contenga un vertice di quel cubo e un'altro suo spigolo il vertice dell'altro
tutto questo è in onore di Mind!
ok sono pazzo