Risolvere in $ \mathbb N $
$ a! b! = a! + b! + c! $
Diofantea fattoriale
Diofantea fattoriale
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Diofantea fattoriale
Per $a\ne b$ da $a!\mid b!+c!$ e $b!\mid a!+c!$ notiamo che se ordiniamo questi tre numeri avremo solo 2 possibilità: $b\le c\le a$ e $a\le c \le b$.Essendo simmetrica possiamo considerare solo la prima.
Per $b< c\le a \Rightarrow c!\mid a!b!$ ma $c!\nmid a!+b!+c!$.
Resta:
$\displaystyle b= c< a\Rightarrow a!=\frac{2c!}{c!-1}$ che è compreso tra $2$ e $4$ e quindi non ha soluzioni.
$b= c= a\Rightarrow a!^2=3a!\Rightarrow a_1!=0;\ a_2!=3$ che quindi non ha soluzioni.
Per $a=b\Rightarrow a!^2=2a!+c!$ adesso poichè $c>a \Rightarrow c!=na!\Rightarrow a!=n+2$
Ora ragionando su $n=(a+1)(a+2)\cdots(a+i)$ deve valere $a>i$, se $i\ge2$, $a!$ è divisibile per 3 mentre $n+2$ no, da cui $i=1\Rightarrow a!=a+3$ da cui si trova $a=3$ e quindi $(3,3,4)$
Per $b< c\le a \Rightarrow c!\mid a!b!$ ma $c!\nmid a!+b!+c!$.
Resta:
$\displaystyle b= c< a\Rightarrow a!=\frac{2c!}{c!-1}$ che è compreso tra $2$ e $4$ e quindi non ha soluzioni.
$b= c= a\Rightarrow a!^2=3a!\Rightarrow a_1!=0;\ a_2!=3$ che quindi non ha soluzioni.
Per $a=b\Rightarrow a!^2=2a!+c!$ adesso poichè $c>a \Rightarrow c!=na!\Rightarrow a!=n+2$
Ora ragionando su $n=(a+1)(a+2)\cdots(a+i)$ deve valere $a>i$, se $i\ge2$, $a!$ è divisibile per 3 mentre $n+2$ no, da cui $i=1\Rightarrow a!=a+3$ da cui si trova $a=3$ e quindi $(3,3,4)$
Ultima modifica di Claudio. il 20 dic 2011, 18:20, modificato 5 volte in totale.
Re: Diofantea fattoriale
3, 3, 4 
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Diofantea fattoriale
Si...nel primo passaggio mi perdo il caso in cui $a=b$...quindi bisogna fare questo e si aggiusta...credo
Re: Diofantea fattoriale
Ho aggiustato, spero che così funzioni...
Re: Diofantea fattoriale
Mi torna tutto tranne questa frase:
Se in generale hai tra numeri a,b,c tali che $ a | b+c $ e $ b | a+c $ non è detto che $ b\le c\le a $ e $ a\le c \le b $. Penso che si possa avere anche $ a \leq b \leq c $, pensa infatti a=3 b=4 c=5 . Se quelle disuguaglianze che hai scritto dipendono prorpio dal fatto che ci sono i fattoriali potresti spiegare meglio il perchè valgono?Claudio. ha scritto:Per $a\ne b$ da $a!\mid b!+c!$ e $b!\mid a!+c!$ notiamo che se ordiniamo questi tre numeri avremo solo 2 possibilità: $ b\le c\le a $ e $ a\le c \le b $
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Diofantea fattoriale
Si scusa, dipendono dai fatoriali.
Allora da $a!\mid b!+c!$ se $a<b$ allora $a!\mid b!$, quindi anche $c!$ deve essere divisibile per $a!$ e quindi deve essere anch'esso maggiore di a. Adesso con lo stesso ragionamento su $b!\mid a!+c!$ poichè a<b allora anche c deve essere minore di b(cioè non divisibile per b). Quindi quando $a<b$ vale $a<b,c$ e $b>a,c$ cioè $a<c<b$. Se adesso fai la stessa cosa con $a>b$ trovi l'altra.Non ho scritto i minori e uguali perchè comunque poi li faccio a mano.
Non so, è chiaro?
Allora da $a!\mid b!+c!$ se $a<b$ allora $a!\mid b!$, quindi anche $c!$ deve essere divisibile per $a!$ e quindi deve essere anch'esso maggiore di a. Adesso con lo stesso ragionamento su $b!\mid a!+c!$ poichè a<b allora anche c deve essere minore di b(cioè non divisibile per b). Quindi quando $a<b$ vale $a<b,c$ e $b>a,c$ cioè $a<c<b$. Se adesso fai la stessa cosa con $a>b$ trovi l'altra.Non ho scritto i minori e uguali perchè comunque poi li faccio a mano.
Non so, è chiaro?
Re: Diofantea fattoriale
OK sì chiarissimo e giusto
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.