Che so di questa matrice?

[ndp15]

Esercizio, spero interessante, di teoria delle matrici (pensato per un risolutore non troppo esperto!).
Sia $ A \in M_{2n}(\mathbb{C}) $, $ A= \left( \begin{array}{ c | c } 0 & X_{1} \\ \hline X_{2} & X_{3} \end{array} \right) $
dove $ X_{1}=xe_{n}^{t} $ con $ x \in $ span$ \{e_{2},...,e_{n}\} $; $ X_{2} $ è triangolare inferiore con elementi diagonali nulli; $ X_{3}=I_{n}+V^{*}V $ con $ I_{n} $ matrice identità di ordine $ n $ e $ V \in M_{n}(\mathbb{C}) $

a) Dare una stima (intelligente) sul rango di $ A $, cioè trovare $ m_{1} $ e $ m_{2} $ tali che $ m_{1}\le rango(A)\le m_{2} $ discutendo i casi limite.
b) Dimostrare che esiste $ \Pi $ di permutazione tale che $ \rho(\Pi A)=0 $ ( $ \rho(\cdot) $ denota il raggio spettrale)
c) Dimostrare che $ \rho(A)\ge 1 $
d) Dimostrare che per ogni norma matriciale indotta tale che $ ||B||<1 $ vale che $ ||\Pi||>1 $ dove $ B=\Pi A $