Alfa e seni - SNS 1990-1991

[EUCLA]

Trovare il più piccolo numero $ \alpha >1 $ tale che risulti: $ \displaystyle {\frac{\alpha +\sin x}{\alpha +\sin y}}\le e^{y-x} $ per ogni $ x\le y $.

[darkcrystal]

Giusto perchè l'ho odiato e tutte le volte che lo riguardo lo sbaglio nello stesso modo prima di rendermi conto che... viewtopic.php?t=5312&highlight=

Ciao!

[EUCLA]

Non l'avevo mica visto! Io l'avevo risolto in modo diverso, ma non tanto.

[Goldrake]

Non l'avevo mica visto! Io l'avevo risolto in modo diverso, ma non tanto.

Ciao Eucla
Mi interesserebbe conoscere l'altra tua dimostrazione, magari anche qualitativamente (senza che ti metti a fare i procedimenti passo passo, per intenderci )
Ciao.

[EUCLA]

Se qualcuno la chiede, ben felice di postarla!

L'idea base, è sfruttare il fatto che per l'ipotesi su $ \displaystyle \alpha $ puoi riscrivere come $ e^{x}({\alpha +\sin{x}})\le e^{y}({\alpha +\sin{y}}) \ (*) $.

Tra lhs e rhs, c'è solo un cambio di variabile, allora consideriamo la funzione $ g(z)=e^{z}(\alpha +\sin{z}) $.
Noi vogliamo un $ \displaystyle \alpha $ tale che la (*) sia sempre vera. Poichè le ipotesi sono di $ x\le y $, allora $ \displaystyle \alpha $ deve "permettere" la crescenza di $ g(z) $.
Poniamo $ g'(z)\ge 0 \rightarrow e^{z}(\alpha+ \sin{z})+ e^z\cos{z}\ge 0 $
Allora $ \alpha \ge -(\sin{z} +\cos{z}) $.

È cosa ben nota, oppure si ricava con le derivate, o con altri metodi più intelligenti, che il massimo del rhs è $ \sqrt{2} $.

Si sostituisce il valore nella disuguaglianza iniziale e si dimostra che è vera. Dunque la soluzione è $ \alpha =\sqrt{2} $.

Ciao!

[Goldrake]

Perfetto e chiaro
Grazie, ciao.

[Robertopphneimer]

Scusate io non so usare le equazioni differenziali...ma ho pensato che ..non si potrebbe fare :

$ a>e^xsinx-e^ysiny/e^x-e^y $

e cioè $ f(x)= e^xsinx-e^ysiny/e^x-e^y $ e fare la derivata e vedere il punto massimo??

[ant.py]

Scusate io non so usare le equazioni differenziali...ma ho pensato che ..non si potrebbe fare :

$ a>e^xsinx-e^ysiny/e^x-e^y $

e cioè $ f(x)= e^xsinx-e^ysiny/e^x-e^y $ e fare la derivata e vedere il punto massimo??

La tua f(x) presenta due variabili, x e y l'idea delle derivate si può sfruttare, appunto come descritto da EUCLA

[Robertopphneimer]

io ho trocvato una spiegazione più...semplice ecco xDD .
Ho scritto la funzione $ g(x) = e^z(a+sin(z)) =e^y(siny)-e^x(sinx) >0 $
perciò essendo per forza positiva
anche la derivata $ e^z (a+sinz)+e^z(cosz) > 0 $ e si torna allo stesso ragionamento di Eucla.

[Robertopphneimer]

La tua f(x) presenta due variabili, x e y l'idea delle derivate si può sfruttare, appunto come descritto da EUCLA

si appunto..dovrei gestire le equazioni differenziali...qualcuno sa qualche topic che ne parla in modo veloce?? qualche cosina su cui studiare le differenziali?? Mi sto accorgendo che ne ho sempre più bisogno!

[trugruo]

fidati, le differenziali non c'entrano niente con quello che ti serve per quest'esercizio
poi qualce funzioni scrivi? g(x) per come l'hai definita non dipende da x ma da z e poi compaiono x e y da dove?

[Robertopphneimer]

sdarebbe g(z)= g(x)-g(y) però stavo pensando che hai ragione...me le sono guardate un attimo..diciamo che si può fare con le derivate parziali!