sistema - SNS2012/1

[ma_go]

Trovare tutte le soluzioni reali del sistema

$\displaystyle\left\{
\begin{array}{l}
x^4=y+z\\
y^4=z+x\\
z^4=x+y
\end{array}
\right.
$

[scambret]

Sottraiamo la seconda dalla prima equazione otteniamo $x^4-y^4=y-x$. Se $x>y$ allora il RHS è negativo, il LHS è positivo perciò $x \le y$. Con lo stesso ragionamento ciclando le variabili abbiamo $ x \le y \le z \le x$ quindi $x=y=z$ perciò $x^4=2x$ con soluzione 0 o $2^{1/3}$ e quindi le terne che soddisfano sono $(0,0,0)$ e $(2^{1/3},2^{1/3},2^{1/3})$.

[Drago96]

$x^4-y^4=y-x$. Se $x>y$ allora il RHS è negativo, il LHS è positivo perciò $x \le y$

Questo se fossero entrambi positivi (o negativi)
Se uno dei due fosse negativo, per esempio $y$, e $|y|>|x|$ ?

[milizia96]

Ci provo io:
parto come scambret, quindi $x^4 - y^4 = y-x$
$(x^2+y^2)(x+y)(x-y)=-(x-y)$
Suppongo per assurdo che $x\ne y$
ne deriva che $(x^2+y^2)z^4=-1$ che è assurdo.
Concludo quindi che $x=y$
Ripetendo il ragionamento con $x$ e $z$ ottengo che $x=z$, quindi $x=y=z$
$x^4=2x$ da cui le stesse soluzioni già trovate da scambret.

Se uno dei due fosse negativo, per esempio y, e |y|>|x| ?

Ciò non può accadere perché $x+y=z^4\ge 0$, cioè è maggiore il valore assoluto del positivo...

[Loara]

Esiste un'altra soluzione che usa i minimi e i massimi.
Supponiamo che esiste una terna di numeri reali $ x, y, z $ non tutti e tre uguali che sia soluzione di tale sistema.
Ovviamente al più uno di tali termini può essere negativo. Supponiamo ora che $ max\{x, y, z\}=z $, allora $ x+y<2z $ e quindi $ 2z>z^4\rightarrow z(z^3-2)<0\rightarrow 0<z<2^{1/3} $. Supponiamo ora che $ min\{x, y, z\}=x $. Allora $ min\{|x|, |y|, |z|\}=|x| $ poiché altrimenti $ x+y<0 $. Quindi $ y+z=|y|+|z|>2|x| $(Poiché un solo numero può essere negativo, e non può non essere $ x $) e quindi $ 2|x|<x^4\rightarrow 2|x|(|x|^3-2)>0\rightarrow |x|>2^{1/3} $. Ma allora $ z<|x| $: contraddizione! Quindi per forza $ x=y=z=0 $ oppure $ x=y=z=2^{1/3} $.