tennis - SNS2012/2
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Nel tennis un set è composto da game. In ogni game batte solo un giocatore. Si vince un game totalizzando almeno 4 punti e avendo almeno due punti di distacco dall'avversario. Se un giocatore che è in battuta ha probabilità $0\le p\le1$ di fare punto, qual è la probabilità che vinca il game?
Re: tennis - SNS2012/2
Sia $q=1-p$ (la probabilità che faccià punto chi non è in battuta).
Intanto se si trovano sul punteggio di parità con almeno 3 punti ciascuno abbiamo $p^2$ probabilità che faccia punto due volte di fila il giocatore in battuta (e che vinca il game), $q^2$ che vinca il secondo giocatore, e $2pq$ che si torni ai vantaggi. Queste $2pq$ si suddividono di nuovo come sopra, e così via. In generale le probabilità di vittoria dell'uno e dell'altro tendono ad essere proporzionali tra loro come $p^2$ e $q^2$, quindi il giocatore in battuta avrà $\displaystyle \frac{p^2}{p^2+q^2}$ probabilità di vincere il game.
Vediamo ora cosa succede sullo 0-0: supponiamo per semplicità che si giochino comunque le prime 6 battute (infatti se uno dei due giocatori arriva a 4 con due punti di scarto prima delle sei battute li mantiene sicuramente fino alla 6ª battuta, infatti arrivano al massimo a 4-2: quindi possiamo considerare solo il risultato raggiunto dopo 6 battute).
I seguenti punteggi si verificano con le seguenti probabilità:
6-0: $\displaystyle \binom{6}{0} p^6$
5-1: $\displaystyle \binom{6}{1} p^5q$
4-2: $\displaystyle \binom{6}{2} p^4q^2$
3-3: $\displaystyle \binom{6}{3} p^3q^3$
e così via.
Nei primi 3 casi vince il primo giocatore, nel 4° si va ai vantaggi.
Quindi la probabilità di vittoria per il primo giocatore è
$\displaystyle p^6+6p^5q+15p^4q^2+20p^3q^3\frac{p^2}{p^2+q^2} $
Secondo voi bisogna svilupparla sostituendo $q=1-p$?
Intanto se si trovano sul punteggio di parità con almeno 3 punti ciascuno abbiamo $p^2$ probabilità che faccia punto due volte di fila il giocatore in battuta (e che vinca il game), $q^2$ che vinca il secondo giocatore, e $2pq$ che si torni ai vantaggi. Queste $2pq$ si suddividono di nuovo come sopra, e così via. In generale le probabilità di vittoria dell'uno e dell'altro tendono ad essere proporzionali tra loro come $p^2$ e $q^2$, quindi il giocatore in battuta avrà $\displaystyle \frac{p^2}{p^2+q^2}$ probabilità di vincere il game.
Vediamo ora cosa succede sullo 0-0: supponiamo per semplicità che si giochino comunque le prime 6 battute (infatti se uno dei due giocatori arriva a 4 con due punti di scarto prima delle sei battute li mantiene sicuramente fino alla 6ª battuta, infatti arrivano al massimo a 4-2: quindi possiamo considerare solo il risultato raggiunto dopo 6 battute).
I seguenti punteggi si verificano con le seguenti probabilità:
6-0: $\displaystyle \binom{6}{0} p^6$
5-1: $\displaystyle \binom{6}{1} p^5q$
4-2: $\displaystyle \binom{6}{2} p^4q^2$
3-3: $\displaystyle \binom{6}{3} p^3q^3$
e così via.
Nei primi 3 casi vince il primo giocatore, nel 4° si va ai vantaggi.
Quindi la probabilità di vittoria per il primo giocatore è
$\displaystyle p^6+6p^5q+15p^4q^2+20p^3q^3\frac{p^2}{p^2+q^2} $
Secondo voi bisogna svilupparla sostituendo $q=1-p$?
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Re: tennis - SNS2012/2
questi due casi non vanno contro le ipotesi?? avrebbe vinto prima! infatti fa almeno 4 punti e lo distanzia di più di 2 punti.auron95 ha scritto: 6-0: $\displaystyle \binom{6}{0} p^6$
5-1: $\displaystyle \binom{6}{1} p^5q$
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Re: tennis - SNS2012/2
E' quello che ho scritto sopra: ho supposto che le prime 6 battute si giochino comunque (un po' di esercizio fisico non fa mai male!), tanto ai fini del problema non cambia nulla: Il fatto che arrivando a 6-0 si passi dal 4-0 non è influente.
Sarebbe influente se in una situazione finale in cui non c'è vincitore si fosse passati da una situazione intermedia in cui uno ha vinto (ad esempio un 4-4 ottenuto passando da un 4-2) oppure una situazione in cui vince uno ottenuta da un punteggio in cui vince l'altro (ad esempio un 6-4 ottenuto passando da un 4-2) ma con solo 6 battute questo non può accadere: nel momento in cui uno raggiunge il 4-0 (4-1) l'avversario non potrebbe più rimontare con solo due (una) battuta a disposizione, infatti arriverebbe al massimo al 4-2 che è comunque una vittoria (non può arrivare a 4-3, che sarebbe ancora in equilibrio perché sarebbero 7 battute).
Spero di essere stato chiaro.....
Sarebbe influente se in una situazione finale in cui non c'è vincitore si fosse passati da una situazione intermedia in cui uno ha vinto (ad esempio un 4-4 ottenuto passando da un 4-2) oppure una situazione in cui vince uno ottenuta da un punteggio in cui vince l'altro (ad esempio un 6-4 ottenuto passando da un 4-2) ma con solo 6 battute questo non può accadere: nel momento in cui uno raggiunge il 4-0 (4-1) l'avversario non potrebbe più rimontare con solo due (una) battuta a disposizione, infatti arriverebbe al massimo al 4-2 che è comunque una vittoria (non può arrivare a 4-3, che sarebbe ancora in equilibrio perché sarebbero 7 battute).
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Re: tennis - SNS2012/2
chiarissimo e scusami non avevo letto bene..chimica mi sta distruggendo.!!!Buon lavoro auron(Problem-solver)auron95 ha scritto:E' quello che ho scritto sopra: ho supposto che le prime 6 battute si giochino comunque (un po' di esercizio fisico non fa mai male!), tanto ai fini del problema non cambia nulla: Il fatto che arrivando a 6-0 si passi dal 4-0 non è influente.
Sarebbe influente se in una situazione finale in cui non c'è vincitore si fosse passati da una situazione intermedia in cui uno ha vinto (ad esempio un 4-4 ottenuto passando da un 4-2) oppure una situazione in cui vince uno ottenuta da un punteggio in cui vince l'altro (ad esempio un 6-4 ottenuto passando da un 4-2) ma con solo 6 battute questo non può accadere: nel momento in cui uno raggiunge il 4-0 (4-1) l'avversario non potrebbe più rimontare con solo due (una) battuta a disposizione, infatti arriverebbe al massimo al 4-2 che è comunque una vittoria (non può arrivare a 4-3, che sarebbe ancora in equilibrio perché sarebbero 7 battute).
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Re: tennis - SNS2012/2
Io ho provato a risolverlo in modo diverso, senza che sia necessario supporre che si giochino sempre 6 scambi.
I casi in cui vince chi batte sono il 4-0, 4-1, 4-2, 3-3 con vittoria ai vantaggi. Il primo si verifica con una probabilità di $ p^4 $; il secondo evento invece è dato da quattro punti fatti ed uno subito, che possono essere ordinati facendo in modo che il punto subito non sia alla fine (altrimenti sarebbe il caso precedente) in 4 modi diversi per cui la probabilità è $ 4p^4(1-p) $; per lo stesso motivo i riordinamenti possibili del 4-2 sono 10 e quindi la probabilità è $ 10p^4(1-p)^2 $. La possibilità che il tennista vinca ai vantaggi è quella già trovata da Auron. Essendo eventi tutti disgiunti la probabilità totale è data dalla somma delle probabilità ovvero $ P=p^4+4p^4(1-p)+10p^4(1-p)^2+20\frac{p^5q^3} {p^2+q^2} $. Non so quanto possa essere valido il ragionamento.
I casi in cui vince chi batte sono il 4-0, 4-1, 4-2, 3-3 con vittoria ai vantaggi. Il primo si verifica con una probabilità di $ p^4 $; il secondo evento invece è dato da quattro punti fatti ed uno subito, che possono essere ordinati facendo in modo che il punto subito non sia alla fine (altrimenti sarebbe il caso precedente) in 4 modi diversi per cui la probabilità è $ 4p^4(1-p) $; per lo stesso motivo i riordinamenti possibili del 4-2 sono 10 e quindi la probabilità è $ 10p^4(1-p)^2 $. La possibilità che il tennista vinca ai vantaggi è quella già trovata da Auron. Essendo eventi tutti disgiunti la probabilità totale è data dalla somma delle probabilità ovvero $ P=p^4+4p^4(1-p)+10p^4(1-p)^2+20\frac{p^5q^3} {p^2+q^2} $. Non so quanto possa essere valido il ragionamento.
Re: tennis - SNS2012/2
Direi che il ragionamento è giusto: se provi a fare i conti i due risultati (il mio e il tuo). dovrebbero coincidere.
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