130. $3^n+4^n \mid 5^n$

[jordan]

Trovare tutti gli interi positivi $n$ tali che $3^n+4^n \mid 5^n$.

[kalu]

Se $ 4 \mid n $ per Fermat $ 3^n+4^n \equiv 2 \pmod{5} $, assurdo.
Se $ n $ è dispari $ 7 \mid 3^n+4^n \to 7 \mid 5^n $, assurdo.
Quindi $ n $ è della forma $ 2k $, con $ k $ dispari. Allora deve valere $$9^k+16^k=5^z$$ per qualche $ z\leq 2k $.
Suppongo che esista un primo $ q $ tale che $ q \mid k $. Applico allora il lemma LTE: $$\displaystyle v_5\biggl(\frac{9^k+16^k}{9^{\frac{k}{q}}+16^{\frac{k}{q}}}\biggl)=v_5({9^k+16^k})-v_5(9^{\frac{k}{q}}+16^{\frac{k}{q}})=v_5(q)\leq 1$$ Dato che banalmente $ \displaystyle \frac{9^k+16^k}{9^{\frac{k}{q}}+16^{\frac{k}{q}}}>1 $, Deve valere $ q=5 $, e $ \displaystyle \frac{9^k+16^k}{9^{\frac{k}{5}}+16^{\frac{k}{5}}}=5 $.
Noto che: $$\displaystyle\sqrt[5]{\frac{5(9^{\frac{k}{5}}+16^{\frac{k}{5}})}{2}}=\sqrt[5]{\frac{9^k+16^k}{2}}\geq \frac{9^{\frac{k}{5}}+16^{\frac{k}{5}}}{2} \to \frac{9^{\frac{k}{5}}+16^{\frac{k}{5}}}{2} \leq \sqrt[4]{5}$$
Chiaramente assurdo.
Quindi non esistono primi divisori di $ k $: allora $ k=1 $, che in effetti soddisfa.
Concludo che l'unica soluzione è $ n=2 $.

[jordan]

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