Sia $ABC$ un triangolo, e siano $M_1$, $M_2$ ed $M_3$ i punti medi dei lati $BC$, $CA$, $AB$. La perpendicolare per $M_1$ alla bisettrice di $\angle CAB$, la perpendicolare per $M_2$ alla bisettrice di $\angle ABC$, la perpendicolare per $M_3$ alla bisettrice di $\angle BCA$ si intersecano nei punti $X, Y, Z$.
Dimostrare che il circocentro di $XYZ$ è il punto medio tra l'ortocentro e l'incentro di $ABC$.
40. A metà strada fra ortocentro e incentro
40. A metà strada fra ortocentro e incentro
Pota gnari!
Re: 40. A metà strada fra ortocentro e incentro
Sia H l'ortocentro di ABC, I l'incentro di ABC, Q il punto medio di XZ, D il piede dell'altezza da A ed E il punto medio di AH. Innanzitutto si ha che X,Y e Z sono gli excentri del triangolo mediale di ABC (quindi il triangolo mediale di ABC è il triangolo ortico di XYZ): infatti, le bisettrici interne del triangolo mediale sono parallele a quelle di ABC e le bisettrici esterne sono perpendicolari a quelle interne e passano per $M_1$,$M_2$,$M_3$. A questo punto si ha che la circonferenza di Feuerbach di ABC è la circonferenza circoscritta al triangolo mediale e passa per D ed E e $M_1E$ è un suo diametro. Ma la circonferenza circoscritta al triangolo mediale di ABC è la circonferenza di Feuerbach di XYZ (perchè $M_1M_2M_3$ è il triangolo ortico di XYZ) e dato che $M_1E$ è un diametro allora $\angle{M_1QE}$ è retto e quindi QE è l'asse di XZ. Ora si ha che QE passa per il punto medio di IH, poiché E è il punto medio di AH e la retta che passa per i punti medi di due lati è parallela al terzo. Allo stesso modo si dimostra che gli assi di XY e YZ passano per il punto medio di IH, che per la definizione di asse è il circocentro di XYZ.
