Ciao,
sto studiando alcuni elementi di analisi funzionale e vorrei chiedervi: è giusto dire che
se $ \nabla u \in L^{2}(\Omega) $ allora anche $ u \in L^{2}(\Omega) $ per qualsiasi $ \Omega $ ?
Mi sembra che quello che sto chiedendo è una sorta di disuguaglianza di Poincaré nello spazio di Hilbert $ L^{2}(\Omega) $ , vi pare?
Aspetto le vostre risposte,
Grazie mille
Domande analisi funzionale
Domande analisi funzionale
Ultima modifica di SARLANGA il 06 apr 2013, 12:09, modificato 1 volta in totale.
[quote="edriv"]chiunque prima di sapere non sa, e prima di saper fare non fa...[/quote]
---------------------------------------
Giacomo: "Non è che uno deve saper costruire i mobili per poterli apprezzare".
Giovanni: "No, caro. Chi sa fare sa capire".
Giacomo: "Ma che cazzo di proverbio è?"
Giovanni: "Non è un proverbio, Giacomo, è la vita"
(da "Chiedimi se sono felice")
---------------------------------------
Giacomo: "Non è che uno deve saper costruire i mobili per poterli apprezzare".
Giovanni: "No, caro. Chi sa fare sa capire".
Giacomo: "Ma che cazzo di proverbio è?"
Giovanni: "Non è un proverbio, Giacomo, è la vita"
(da "Chiedimi se sono felice")
Re: Domanda analisi funzionale
Visto che ci sono vi faccio anche una seconda domanda (del tutto scollegata alla prima): siccome si parla spesso di spazi funzionali densi in altri spazi funzionali, mi stavo chiedendo:
se $ A $ è denso in $ B $ allora si può dire che $ A \subset B $ in generale?
Grazie
se $ A $ è denso in $ B $ allora si può dire che $ A \subset B $ in generale?
Grazie
- Nonno Bassotto
- Site Admin
- Messaggi: 970
- Iscritto il: 14 mag 2006, 17:51
- Località: Paris
- Contatta:
Re: Domande analisi funzionale
Ciao, per quanto riguarda la prima domanda, puoi trovare controesempi molto semplici anche su un intervallo di R. Non ti lasciare confondere dal fatto che le funzioni di L^2 possono essere molto complicate: stai richiedendo che se una funzione ha derivata a quadrato integrabile, anche la funzione stessa deve avere quadrato integrabile.
Per quanto riguarda la seconda domanda, non è molto chiara. Per definizione se A è denso in B stiamo parlando di un sottoinsieme. Non è una conclusione, semplicemente la densità si definisce per sottoinsiemi. Se nel tuo caso non ti sembra che uno spazio sia contenuto in un altro, probabilmente è perché chi parla sottintende un'inclusione naturale di A in B (anche se di per sé A non è magari contenuto in B). Ad esempio se dico che le funzioni continue su [0, 1] sono dense in L^2([0, 1]), a rigore sto abusando il linguaggio, perché gli elementi di C^0 sono funzioni mentre quelli di L^2 sono classi di equivalenza di funzioni a meno di uguaglianza quasi ovunque. In questo caso, visto che se due funzioni continue sono uguali quais ovunque allora coincidono, stiamo usando il fatto che la proiezione al quoziente è iniettiva su C^0 e perciò posso pensarla come un'inclusione di C^0 in L^2.
Per quanto riguarda la seconda domanda, non è molto chiara. Per definizione se A è denso in B stiamo parlando di un sottoinsieme. Non è una conclusione, semplicemente la densità si definisce per sottoinsiemi. Se nel tuo caso non ti sembra che uno spazio sia contenuto in un altro, probabilmente è perché chi parla sottintende un'inclusione naturale di A in B (anche se di per sé A non è magari contenuto in B). Ad esempio se dico che le funzioni continue su [0, 1] sono dense in L^2([0, 1]), a rigore sto abusando il linguaggio, perché gli elementi di C^0 sono funzioni mentre quelli di L^2 sono classi di equivalenza di funzioni a meno di uguaglianza quasi ovunque. In questo caso, visto che se due funzioni continue sono uguali quais ovunque allora coincidono, stiamo usando il fatto che la proiezione al quoziente è iniettiva su C^0 e perciò posso pensarla come un'inclusione di C^0 in L^2.
The best argument against democracy is a five-minute conversation with the average voter. - Winston Churchill
Re: Domande analisi funzionale
Grazie per le risposte.
Sulla seconda, ditemi per piacere se ha senso dire questo e magari dove è che sto "barando":
sia $ A $ un sottoinsieme denso in $ B $, dove $ A $ e $ B $ sono entrambi degli spazi di funzioni - sto pensando ad esempio ad $ A=C_{0}^{\infty}(\Omega) $ e $ B=L^2(\Omega) $ - ; se mostro che una successione degenere di un unico elemento di $ A $ converge all'elemento stesso in $ B $ (cioè converge nella norma di $ B $), allora per densità, posso dire che tale elemento di $ A $ è anche un elemento di $ B $, e di conseguenza $ A $ è contenuto in $ B $.
Temo che sia sbagliato il passaggio per densità perché non è detto che ogni successione di elementi di $ A $ convergente nella norma di $ B $ debba per forza avere limite in $ B $. Dico bene?
Sulla seconda, ditemi per piacere se ha senso dire questo e magari dove è che sto "barando":
sia $ A $ un sottoinsieme denso in $ B $, dove $ A $ e $ B $ sono entrambi degli spazi di funzioni - sto pensando ad esempio ad $ A=C_{0}^{\infty}(\Omega) $ e $ B=L^2(\Omega) $ - ; se mostro che una successione degenere di un unico elemento di $ A $ converge all'elemento stesso in $ B $ (cioè converge nella norma di $ B $), allora per densità, posso dire che tale elemento di $ A $ è anche un elemento di $ B $, e di conseguenza $ A $ è contenuto in $ B $.
Temo che sia sbagliato il passaggio per densità perché non è detto che ogni successione di elementi di $ A $ convergente nella norma di $ B $ debba per forza avere limite in $ B $. Dico bene?
Re: Domande analisi funzionale
Forse è meglio che ci dici cosa vuol dire secondo te la frase: $A$ è un sottoinsieme denso di $B$.
Perché secondo me vuol dire che ogni elemento di $A$ è anche elemento di $B$, innanzitutto... e quindi la conclusione che vuoi trarre è ovvia: $A$ è contenuto in $B$.
Perché secondo me vuol dire che ogni elemento di $A$ è anche elemento di $B$, innanzitutto... e quindi la conclusione che vuoi trarre è ovvia: $A$ è contenuto in $B$.
Re: Domande analisi funzionale
Io pensavo che essere denso volesse dire che per ogni elemento u di B esiste una successione di elementi di A il cui limite in norma di B è proprio B.EvaristeG ha scritto:Forse è meglio che ci dici cosa vuol dire secondo te la frase: $A$ è un sottoinsieme denso di $B$.
Aaah, ora forse ho capito: quello che non sapevo era che la densità è una proprietà dei sottoinsiemi e dunque la conclusione è ovvia per definizione... Scusatemi se vi ho fatto perdere tempo.
Grazie
[quote="edriv"]chiunque prima di sapere non sa, e prima di saper fare non fa...[/quote]
---------------------------------------
Giacomo: "Non è che uno deve saper costruire i mobili per poterli apprezzare".
Giovanni: "No, caro. Chi sa fare sa capire".
Giacomo: "Ma che cazzo di proverbio è?"
Giovanni: "Non è un proverbio, Giacomo, è la vita"
(da "Chiedimi se sono felice")
---------------------------------------
Giacomo: "Non è che uno deve saper costruire i mobili per poterli apprezzare".
Giovanni: "No, caro. Chi sa fare sa capire".
Giacomo: "Ma che cazzo di proverbio è?"
Giovanni: "Non è un proverbio, Giacomo, è la vita"
(da "Chiedimi se sono felice")
Re: Domande analisi funzionale
Ehm, beh altrimenti che senso avrebbe applicare la norma di $B$ ad un elemento di $A$?