La congettura di Catalan, dimostrata nel $2004$ da P.Mihailescu, afferma che se $x,y,p,q$ sono interi maggiori di $1$ tali che $x^p-y^q=1$ allora $x=q=3$ e $y=p=2$.
Problema. Verificare che la congettura è vera se $x$ divide $q$.
$x^p-y^q=1$ se $x\mid q$
$x^p-y^q=1$ se $x\mid q$
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: $x^p-y^q=1$ se $x\mid q$
WLOG $q=x$.
Se $x$ è pari (e $y$ dispari) allora $$y^x\equiv 1 \pmod 4 \ \ \to \ \ v_2(x^p)=1 \ \ \to \ \ p=1 \ \ \to \ \ x=y^x+1$$ Assurdo. Quindi $x$ è dispari e $y$ è pari.
Sia $r$ un primo dispari tale che $r\mid y+1$. Per LTE $$v_r(y+1)+v_r(x)=v_r(y^x+1)=pv_r(x) \ \ \to \ \ r^{p-1}\mid y+1$$
Inoltre $$x^p=y^x+1 \ \ \to \ \ \sqrt[p]{y}<\sqrt[x]{x}<2 \ \ \to \ \ y<2^p$$
Quindi $$3^{p-1}\leq r^{p-1}\leq y+1<2^p+1$$
Che vale solo $p<3$ (induzione facile). Quindi $p=y=2$.
Allora: $$(x+1)(x-1)=2^x$$ da cui segue banalmente $x=3$
Se $x$ è pari (e $y$ dispari) allora $$y^x\equiv 1 \pmod 4 \ \ \to \ \ v_2(x^p)=1 \ \ \to \ \ p=1 \ \ \to \ \ x=y^x+1$$ Assurdo. Quindi $x$ è dispari e $y$ è pari.
Sia $r$ un primo dispari tale che $r\mid y+1$. Per LTE $$v_r(y+1)+v_r(x)=v_r(y^x+1)=pv_r(x) \ \ \to \ \ r^{p-1}\mid y+1$$
Inoltre $$x^p=y^x+1 \ \ \to \ \ \sqrt[p]{y}<\sqrt[x]{x}<2 \ \ \to \ \ y<2^p$$
Quindi $$3^{p-1}\leq r^{p-1}\leq y+1<2^p+1$$
Che vale solo $p<3$ (induzione facile). Quindi $p=y=2$.
Allora: $$(x+1)(x-1)=2^x$$ da cui segue banalmente $x=3$
Pota gnari!
Re: $x^p-y^q=1$ se $x\mid q$
Tutto corretto; come lo dimostri quello quotato sopra?kalu ha scritto:\sqrt[x]{x}<2
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: $x^p-y^q=1$ se $x\mid q$
Si, ho sorvolato su alcune cose facili/note per non appesantire troppo la dimostrazione.jordan ha scritto:Tutto corretto; come lo dimostri quello quotato sopra?kalu ha scritto:\sqrt[x]{x}<2
Lì con una AM-GM viene $$\sqrt[x]{x}\leq 2-\frac{1}{x}$$
Pota gnari!