Un'altra lavagna con sostituzioni.

[dario2994]

Secondo me non ha fondamento logico.
Cioè non c'ho capito nulla e mi sembra sbagliata.

[auron95]

Sì era davvero impossibile capire qualcosa in quello che ho scritto. Provo a spiegare meglio la mia idea: se io prendo la somma e il prodotto di due numeri dopo la sostituzione, vengono raddoppiati rispetto a prima della sostituzione, quindi si dovrebbe poter raccogliere un fattore 2 sia nella somma sia nel prodotto: dico dovrebbe perchè nulla mi dice che che quando raddoppio la somma (o il prodotto) il fattore 2 non si semplifichi in qualche modo. Quello che provavo a dimostrare vagamente prima è che nei numeri che compaiono sulla lavagna non possono semplificarsi i fattori 2, e se i fattori 2 non si semplificano, posso raccogliere un 2 nella differenza tra somma e prodotto. Ma se ottengo 1, la somma è $x+1$, il prodotto è $x$, quindi la differenza è 1, e non posso raccogliere il fattore 2.

Scusami se sto scrivendo scemenze ma ci tenevo a farti capire il mio ragionamento per poter capire io dov'è che sto sbagliando, infatti dubito fortemente di aver centrato la strada giusta: se dovrebbe venirmi che non compare nessun numero $\le 1.05$ come dice Simo allora non so proprio da dove tirarlo fuori (sono ancora un novizio e probabilmente il problema è fuori portata per me...)

[jordan]

sono ancora un novizio e probabilmente il problema è fuori portata per me...

Nessuno è fuori portata per questo problema

[dario2994]

Il problema nelle cose che dici è che sembri assumere che un po' tutto è intero o razionale... cosa che non è!
Inoltre ti aiuto un pochettinino... se al posto di partire da $3,4,5,6$ si partisse da $\frac 3 2,2,3,4$ sarebbe possibile ottenere 1... quindi in qualche modo sono importanti i numeri iniziali

[auron95]

Più che altro cercavo di assumere che fossero interi o irrazionali non fratti... comunque lasciamo perdere le mie assurdità perchè ho scoperto cose molto interessanti se quello che capita continuando a sostituire gli stessi due numeri ma devo ancora capire perchè capita....

[Ouroboros]

Inoltre ti aiuto un pochettinino... se al posto di partire da $3,4,5,6$ si partisse da $\frac3 2,2,3,4$ sarebbe possibile ottenere 1... quindi in qualche modo sono importanti i numeri iniziali

In pratica...

Testo nascosto:

\\\\siccome non ci sono numeri razionali nell'insieme, ma solo naturali, ogni numero che sostituisco è naturale o somma di un naturale e un irrazionale, quindi la relazione $ \\\\x=\frac{2y-1}{2(y-1)}\\\\ $ (già ricavata sopra... comunque si trova facilmente) non ha soluzioni naturali o irrazionali (intesa come somma di naturale e irrazionale...)\\\\

[auron95]

Ok ci sono quasi (forse).

Provo a sostituire più volte gli stessi numeri x e y per $n$ volte, con $n\rightarrow \infty$, ottengo x' < y' WLOG e la somma e il prodotto diventano $k=2^n$ volte tanto.
$x'+y'=k(x+y);\qquad x'y'=kxy$
Per sostituzione ricavo
$x'+k\frac{xy}{x'}=k(x+y)$
Moltiplico per $x'$, risolvo l'equazione di secondo grado (prendendo la soluzione con il meno) e dopo un po' di conti arrivo a scrivere
$x'=\frac{2kxy}{k(x+y)+\sqrt{k^2(x+y)^2-4kxy}}$
Dopo aver diviso sopra e sotto per k, poichè k tende ad infinito, allora ho che $\displaystyle \lim_{k\rightarrow \infty}\mbox{quella roba}=\frac{xy}{x+y}$

Così se prendo due numeri e sostituisco tante volte, prendo gli altri due e li sostituisco tante volte, prendo i più piccoli che ho ottenuto e sostituisco, avrò che il più piccolo tende a (dopo i conti) $\displaystyle \frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd}$ che per a=3,b=4,c=5,d=6 vale 1.05 e rotti.
Noto che questo valore limite rimane invariato se io sostituisco "a caso": infatti il numeratore raddoppia sempre (è raddoppiato il prodotto tra due numeri) ma anche il denominatore: se sostituisco wlog a,b allora il denom. è uguale a $ab(c+d)+cd(a+b)$ e quindi raddoppia in ogni caso.

Questo dovrebbe bastare (credo)

[dario2994]

@Ouroboros: non ho capito che hai scritto, non capisco perchè lo hai messo nascosto e penso sia sbagliato assai.
@auron95: Anche qui si capisce poco ma l'idea fondamentale la scrivi ed è che quella frazione non varia facendo mosse... Il resto sono euristiche che interessano relativamente, soprattutto se non ti accorgi che sono solo euristiche.
Inolter manca, secondo me, il pezzo finale della dimostrazione:
Hai dimostrato che quella frazione non varia facendo mosse... e ora come dimostri che allora nessun valore scende sotto $1.05$ ?

È decisamente una cosa facile ma mi pare che non lo dici chiaramente da nessuna parte... (lo giustifichi in qualche modo con dei limiti ma )

[jordan]

Confermo quanto scritto sopra..

Aggiungo, riguardo il primo pezzo: parli di cambiare due stessi numeri $x,y$, e arrivi che $x'$ (e riguardo $y'$?) sia sempre maggiore stretto di $\frac{xy}{x+y}$ (il che, è vero: perchè?). Ora, passando da due a piu' termini, riguardo il secondo pezzo: non è chiaro in che ordine li scegli per minimizzare l'elemento piu' piccolo di essi: in particolare si deve rispondere a

"Perchè indipendentemente dall'ordine delle mosse scelte, partendo reali positivi $a,b,c,d$ non si avrà mai (in un tempo finito) un reale positivo minore di $(\sum_{cyc}{a^{-1}})^{-1}$?"

[auron95]

Eh già è abbastanza semplice...
sia $x$ il più piccolo dei 4 numeri, se io sostituisco per $n\rightarrow \infty$ volte allora diventa un valore $x'>1.05$, ma siccome $x>x+y-\sqrt{x^2+y^2}$ allora il valore di x assume valori via via decrescenti. Quindi $1.05<x'<x$ e gli altri tre numeri sono per forza maggiori di $x$ quindi tutti e quattro hanno sempre valori maggiori di 1.05.

[auron95]

parli di cambiare due stessi numeri $x,y$, e arrivi che $x'$ (e riguardo $y'$?) sia sempre maggiore stretto di $\frac{xy}{x+y}$ (il che, è vero: perchè?).

Se ho capito bene l'obiezione: siccome il valore del più piccolo dei due descresce a ogni sostituzione, e ad un numero tendente a infinito di sostituzioni tende a $\frac{xy}{x+y}$, allora ho che il valore deve avvicinarsi a quella frazione per come è definito il limite, ma se $x'$ fosse $\le\frac{xy}{x+y}$ allora decrescendo si allontanerebbe.
Per quanto riguarda $y'$ cresce continuamente ($x+y+\sqrt{x^2+y^2}>y$) e quindi non mi può dare problemi.

[dario2994]

Ti do un suggerimento spassionato: lascia stare i limiti

[jordan]

Se ho capito bene l'obiezione: siccome il valore del più piccolo dei due descresce a ogni sostituzione, e ad un numero tendente a infinito di sostituzioni tende a $\frac{xy}{x+y}$, allora ho che il valore deve avvicinarsi a quella frazione per come è definito il limite, ma se $x'$ fosse $\le\frac{xy}{x+y}$ allora decrescendo si allontanerebbe.
Per quanto riguarda $y'$ cresce continuamente ($x+y+\sqrt{x^2+y^2}>y$) e quindi non mi può dare problemi.

Se vuoi continuare così, con due termini sei apposto. Ora come passi a 4 (non conoscendo l'ordine delle sostituzioni?)

[Ouroboros]

@Ouroboros: non ho capito che hai scritto, non capisco perchè lo hai messo nascosto e penso sia sbagliato assai.

Volevo capire se avevo colto bene il tuo suggerimento, almeno alla base: l'ho messo nascosto perché non volevo interferire con il ragionamento di auron95, non mi ero accorto che aveva già risposto...
Ps: ho anche avuto problemi con il tablet, non mi faceva modificare la risposta, infatti non riuscivo a togliere quella serie di \\\\ spuntata dal nulla... il succo é: avendo solo numeri naturali, posso ottenere numeri razionali con la sostituzione (in particolare frazioni con un multiplo di due al denominatore)? La risposta che mi sono dato é no; con i quattro numeri proposti da te invece si... perché era presente un razionale non intero. Questa era la base del ragionamento: mi auguro sia giusta ( altrimenti fammi un esempio del contrario e la pianto di parlare a vuoto )

[auron95]

Se vuoi continuare così, con due termini sei apposto. Ora come passi a 4 (non conoscendo l'ordine delle sostituzioni?)

Non funziona quello che avevo scritto nel post sopra? Siccome quella frazione rimane invariata per qualsiasi combinazione di sostituzioni, allora se per assurdo ottengo 1 e altri tre numeri, sostituendo all'infinito l'1 e uno qualsiasi degli altri numeri allora l'1 dopo le sostituzioni dovrebbe tendere a 1.05 ma deve decrescere, quindi dall'assurdo ricavo che 1 non può apparire.