SSUP: birra e probabilità

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Al bar della Scuola Superiore Sant'Anna, vengono servite solo tre tipi di birra. Una è analcolica, una ha una gradazione di alcol del $5%$% e una ha una gradazione di alcol del $10%$%. Ogni cliente che entra nel bar chiede un litro (e sempre un litro!) di birra di una gradazione $g%$%, con $g$ numero reale compreso tra $0$ e $10$. Il barista può mischiare i diversi tipi di birra per creare birre con gradazioni diverse.
Ad un certo punto nel bar restano solo un litro di ogni tipo di birra. Entra un cliente e chiede una birra da $2,5%$% di alcol.
(a) In che modo il barista può accontentare il cliente in modo che sia massima la probabilità di accontentare anche il cliente successivo?
(b) In che modo il barista può accontentare il cliente in modo che sia minima la probabilità di accontentare anche il cliente successivo?

Chiamo $x$ la quantità in litri della prima birra (analcolica), $y$ la quantità in litri della seconda birra ($5%$% di alcol), $z$ la quantità in litri della terza birra ($10%$% di alcol). Allora per ogni richiesta di ogni cliente vale la relazione:
\begin{cases}g=5y+10z \\ x+y+z=1\end{cases}
Come si fa a massimizzare la probabilità?????

[Triarii]

Non ne sono sicuro, comunque lo posto, magari ti è utile.
Intanto il sistema scritto è corretto, quindi lo userò pure io nella dimostrazione.
Chiamo con $ x_0 $ la quantità di birra analcolica servita al primo cliente. Si noti che fissato $ x_0 $, sono definite pure le quantità $ y $ e $ z $.
Vale $ 0,5\le x_0\le 0,75 $ (altrimenti ci resterebbro una quantità di qualche tipo di birra o negativa o maggiore di 1, lo puoi notare scrivendo y e z in funzione di $ x_0 $)
Da questo ricaviamo che la quantità di birra di tipo y che resta è compresa tra 0,5 e 1, mentre quella di tipo z è compresa tra 0,75 e 1.
Ora uso un assunto (e qui è forse la parte che mi convince di meno): data $ g_{min} $ la gradazione minima componibile e $ g_{max} $ la massima con la birra rimasta, il barista può creare tutte le gradazioni intermedie (mi pare ragionevole, in fondo è una roba lineare e continua...) Quindi andiamo ora a calcolarci questi 2 valori, così possiamo calcolarci quelli che il barsita non può creare. Chiaramente $ g_{min} $ si ottiene mescolando tutta la birra del tipo x (che è rimasta in quantità $ 1-x_0 $) e la birra del tipo y che serve per arrivare ad un litro. La birra z non serve perchè, come abbiamo visto prima, al minimo la somma della birra di tipo e y è almeno 1l preciso. Ora dovrebbe quindi venir fuori (sostiteundo queste informazioni nel sistema iniziale) che $ g_{min}=5x_0 $
Con un ragionamento analogo, otteniamo che $ g_{max}=25/2 -x_0 $. La probabilità di non accontentare un cliente è data da $ (g_{min}-0+10-g_{max})/10 $. Si nota quindi che per minimizzare o massimizzare la quantità basta massimizzare o minimizzare x_0. Quindi svolgendo i conti otteniamo che la probabilità di scontentare il cliente è compresa tra 0,25 e 0,5.

Ora invece ho una domanda per gli esperti su un dubbio che mi era venuto risolvendo il problema: supponiamo che il mio ragionamento sia corretto, potevo dire subito che i casi di minimo e massimo si ottenevano "estremizzando" $ x_0 $ visto che la funzione iniziale (quella ricavata dal sistema insomma) è convessa/concava?

[Chuck Schuldiner]

Una è analcolica

NON E' BIRRA

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Ora dovrebbe quindi venir fuori (sostiteundo queste informazioni nel sistema iniziale) che $ g_{min}=5x_0 $
Con un ragionamento analogo, otteniamo che $ g_{max}=25/2 -x_0 $.

Perché???

[Gottinger95]

In generale se una funzione è convessa ha il massimo nei valori estremali, se una funzione è concava ha il minimo nei valori estremali.
Prendiamo una funzione \(f\) convessa in \([a,b]\). Se congiungi i punti \( (a,f(a) )\) e \((b,f(b) )\), per definizione la funzione deve stare sotto a questo segmento, i.e. non può assumere valori superiori del massimo di \(f(a), f(b)\) \(\Rightarrow\) il massimo è in \(a\) o in \(b\).
Con un discorso analogo per la concavità si ricava che il minimo si trova in corrispondenza degli estremi.

Per quanto riguarda le funzioni lineari, esse sono concave e convesse allo stesso tempo, quindi sia il minimo che il massimo si trova in corrispondenza degli estremi. Quindi si, è corretto.