Corso Prime: Pb. 7.1 (somme di binomiali)

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matematik
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Corso Prime: Pb. 7.1 (somme di binomiali)

Messaggio da matematik » 25 nov 2013, 20:11

Ecco il problema 7 della lista 1:

Calcolare:

$ \left({2\atop 2}\right)+\left({3\atop 2}\right)+\left({4\atop 2}\right)+\left({5\atop 2}\right)+\dots+\left({99\atop 2}\right)+\left({100\atop 2}\right) $

dove $ \left({n\atop k}\right) $ significa $ {n!\over k!\cdot(n-k)!} $, cioe' $ {n(n-1)(n-2)\dots 3\cdot 2\cdot 1\over \left(k(k-1)(k-2)\dots 3\cdot 2\cdot 1\right)\cdot\left((n-k)(n-k-1)(n-k-2)\dots3\cdot 2\cdot 1\right)} $

Primo suggerimento:
Se e' la prima volta che vedete questo simbolo, fate un atto di umilta' e andatevi a guardare i 3 video della lezione 1, alla pagina del corso:

http://www.problemisvolti.it/CorsoBaseO ... atica.html

Secondo suggerimento:
Ci sono tantissimi modi di risolvere questo problema (alcuni anche piu' corti di quello proposto nel corso). Quello spiegato alla fine della 3^ parte della lezione 1 ha come punto di partenza la seguente osservazione: $ \left({n\atop 2}\right) $ e' uguale al numero di modi di distribuire esattamente $ n-2 $ caramelle a $ 3 $ bimbi, e quindi tutta l'espressione da calcolare e' uguale al numero di modi di distribuire al piu' $ 98 $ caramelle a $ 3 $ bimbi.....
Ultima modifica di matematik il 02 dic 2013, 09:54, modificato 1 volta in totale.

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Drago96
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Re: Corso Gara Prime: Prob. 7 della Lista 1

Messaggio da Drago96 » 25 nov 2013, 22:46

Terzo suggerimento: ricorda tanto un altro problema postato qua sul forum; magari è anche lo stesso? (N.B: questo collegamento può anche essere considerato la dimostrazione di una famosa formula con le somme di binomiali, come viene fatto notare alla fine della 3^ parte)

Altro modo di vederlo (sperando di non spoilerare le lezioni): se prendiamo un triangolo di Tartaglia (o di Pascal che sia), possiamo vedere dei collegamenti con i binomiali? Come possiamo sommarli allora? (per me questo fatto quasi banale è davvero figo! :D )

P.S: colgo l'occasione per farle i miei complimenti, professore! :) Davvero una bellissima iniziativa!
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matematik
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Re: Corso Gara Prime: Prob. 7 della Lista 1

Messaggio da matematik » 14 dic 2013, 09:32

Drago96 ha scritto: Altro modo di vederlo: se prendiamo un triangolo di Tartaglia (o di Pascal che sia), possiamo vedere dei collegamenti con i binomiali? Come possiamo sommarli allora? (per me questo fatto quasi banale è davvero figo! :D )
Sono d'accordo: questo, tra i molti modi di risolvere il problema, e' probabimente il piu' figo!
La proprieta' suggerita da Drago, per quanto semplice, e' una delle piu' importanti (e utili) del triangolo di Pascal e va senz'altro imparata!
Tra poco la vedrete anche nel corso on line, dove la useremo ripetutamente.

Grazie mille Drake!

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