Corso Prime: Pb. 6.1 (la strage del cacciatore)

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matematik
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Corso Prime: Pb. 6.1 (la strage del cacciatore)

Messaggio da matematik » 25 nov 2013, 19:43

Ecco il problema 6 della Lista 1:

In un bosco abitato da 100 fagiani, 100 cervi e 100 cinghiali, un cacciatore spara 6 colpi (non e' detto che ogni colpo vada a segno).
Quante diverse composizioni puo' avere il suo bottino? (animali dello stesso tipo vanno considerati indistinguibili tra loro)


Suggerimento:
Indicati con $ x $, $ y $ e $ z $, rispettivamente, il numero di fagiani, di cervi e di cinghiali uccisi, si tratta di contare quante sono le coppie $ (x,y,z) $ di interi non negativi tali che $ x+y+z\le 6 $.

Un problema quasi identico a questo (cambiano solo i numeri) e' spiegato e risolto nella 3^ parte della lezione 1, scaricabile alla pagina:

http://www.problemisvolti.it/CorsoBaseO ... atica.html

Gi.
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Re: Corso Prime: Pb. 6.1 (la strage del cacciatore)

Messaggio da Gi. » 14 dic 2013, 08:28

Visto che nessuno ha voluto risolverlo
Testo nascosto:
Nei casi come questo risulta utile partizionare l'insieme delle soluzioni in tanti insiemi più facili da contare.
Possiamo dividere il tutto in sei casi, a seconda che il cacciatore mandi a segno tutti i colpi, o nessuno, o solo uno,ecc.
Conseguentemente devo trovare il numero di modi di scrivere $ 0,1,2,3,4,5,6 $ come somma di sei naturali.
Ci riduciamo alla somma di binomiali

$ {2 \choose 2}+{3 \choose 2}+{4 \choose 2}+{5 \choose 2}+{6 \choose 2}+{7 \choose 2}+{8 \choose 2}={9 \choose 3}=84 $

matematik
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Re: Corso Prime: Pb. 6.1 (la strage del cacciatore)

Messaggio da matematik » 14 dic 2013, 09:36

Gi. ha scritto:Visto che nessuno ha voluto risolverlo...
Grazie mille per l'aiuto Gi!

fph
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Re: Corso Prime: Pb. 6.1 (la strage del cacciatore)

Messaggio da fph » 16 dic 2013, 12:23

Credo che quanto hai scritto vada aggiustato così:
Gi. ha scritto:Conseguentemente devo trovare il numero di modi di scrivere $ 0,1,2,3,4,5,6 $ come somma di tre naturali.
Tutto giusto, ma in realtà c'è anche un'altra idea che porta a una soluzione più corta:
Testo nascosto:
In realtà quello che stai contando è il modo di scrivere 6 come somma di 4 naturali: fagiani, cervi, cinghiali, e colpi andati a vuoto.
--federico
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matematik
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Re: Corso Prime: Pb. 6.1 (la strage del cacciatore)

Messaggio da matematik » 16 dic 2013, 14:25

fph ha scritto:Credo che quanto hai scritto vada aggiustato così:
Gi. ha scritto:Conseguentemente devo trovare il numero di modi di scrivere $ 0,1,2,3,4,5,6 $ come somma di tre naturali.
Tutto giusto, ma in realtà c'è anche un'altra idea che porta a una soluzione più corta:
In realtà quello che stai contando è il modo di scrivere 6 come somma di 4 naturali: fagiani, cervi, cinghiali, e colpi andati a vuoto.
Questo è appunto il modo utilizzato nel video della 3^ parte della lezione 1

Gi.
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Re: Corso Prime: Pb. 6.1 (la strage del cacciatore)

Messaggio da Gi. » 23 dic 2013, 18:22

Si fph, intendevo scrivere tre naturali: di fatto ho risolto per questo numero.
Interessante notare che generalizzando il problema ed eguagliando i due metodi di risoluzione si può avere una facile dimostrazione della formula
Testo nascosto:
$ \displaystyle {r \choose r}+{r+1 \choose r}+{r+2 \choose r}+{r+3 \choose r}+...+{k \choose r}={k+1 \choose r+1} $

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