Ecco una dimostrazione che fa uso dei numeri complessi.
Associo ad ogni "altezza" $k$ delle $100$ possibili il numero complesso $z_k$ che ha per parte reale il numero presente sulla moneta della colonna A ad altezza $k$ e per parte immaginaria il numero presente sulla moneta della colonna B sempre ad altezza $k$. Il gioco che fanno Alberto e Barbara si riduce quindi a spartirsi i $100$ numeri complessi $(z_1,z_2,...,z_{100})$, sommare i fra loro propri e valutare quale dei due moduli dei complessi-somma sia più grande.
Diamo ora un po' di nomi alle variabili in gioco (questa parte sarà davvero difficile da fare senza incasinarmi

), siano:
-$S_k=\sum_{k=1}^{100}z_k=R e^{i\theta}$.
-$z'_k=z_ke^{-i\theta}$ per ogni $k$.
-$S_a$ ed $S_b$ rispettivamente la somma dei numeri complessi $z_k$ scelti da Alberto e da Barbara.
-$S'_a$ ed $S'_b$ rispettivamente la somma dei numeri complessi $z'_k$ scelti da Alberto e da Barbara.
Grazie alle proprietà generali dei complessi, posso scrivere:
$$\left|\sum_{k=1}^{100}z'_k\right|=\left|\sum_{k=1}^{100}z_ke^{-i\theta}\right|=\left|e^{-i\theta}\sum_{k=1}^{100}z_k\right|=\left|e^{-i\theta}\right|\cdot\left|\sum_{k=1}^{100}z_k\right|=|S_k|=R$$
E, più nel dettaglio, posso valutare allo stesso modo i punteggi di Alberto e Barbara con i $z'_k$!
$$|S_a|=\left|\sum_{Alberto}z_k\right|=\left|e^{-i\theta}\sum_{Alberto}z'_k\right|=|S'_a|$$
$$|S_b|=\left|\sum_{Barbara}z_k\right|=\left|e^{-i\theta}\sum_{Barbara}z'_k\right|=|S'_b|$$
Da cui $|S_a|^2=|S'_a|^2$ e $|S_b|^2=|S'_b|^2$.
Perché abbiamo creato questi $z'_k$? La cosa che ci piace veramente è:
$$S'_a+S'_b=\sum z'k=\sum e^{-i\theta}z_k=e^{-i\theta}\sum z_k=e^{-i\theta}Re^{i\theta}=R$$
Che ci dice che, se consideriamo il punteggio con gli $z'_k$, le parti immaginarie della somma di Alberto e Barbara sono uguali ed opposte. Vogliamo quindi dimostrare che è possibile per Alberto far sì che:
$$[Re(S'_a)]^2+[Im(S'_a)]^2\geq [Re(S'_b)]^2+[-Im(S'_a)]^2\Rightarrow Re(S'_a)^2\geq Re(S'_b)^2$$
Visto che $Re(S'_a)+Re(S'_b)=R\geq 0$, facendo sì che Alberto scelga i complessi $z'_k$ ordinati secondo la dimensione della loro parte reale (privilegiando quindi i positivi), otteniamo facilmente $Re(S'_a)\geq 0$, e quindi:
$$Re(S'_a)\geq -Re(S'_b)\Rightarrow Re(S'_a)^2\geq Re(S'_b)^2$$
E così si assicura sempre un punteggio maggiore od uguale a quello di Barbara.
Spero di non aver fatto troppi errori grossolani

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"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!