Molto semplice!
Sia \(ABC\) un triangolo e \(\Gamma\) il suo incerchio. Siano \(D,E,F\) i punti di tangenza di \(\Gamma\) con \(BC,CA,AB\). La parallela alla bisettrice di \(C\) passante per \(D\) interseca \(\Gamma\) in \(D'\). Similmente definiamo \(E', F'\). Dimostrare che \(DEF\) è congruente a \(D'E'F'\) e che \(D'E, E'F, F'D\) concorrono.
Bisettrici, a spasso per l'incerchio
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Gottinger95
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Bisettrici, a spasso per l'incerchio
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
Re: Bisettrici, a spasso per l'incerchio
Sia $ I $ l'incentro di $ ABC $.
Considerando il punto $ C $:
Sia $ C' $ il punto d'intersezione tra $ CI $ e $ DE $. $ CEC' \cong CDC' $, perché hanno $ CC' $ in comune, $ CE\cong CD $ per il teorema delle tangenti, gli angoli compresi congruenti perché $ CI $ è bisettrice di $ \widehat C $. In particolare $ EC' \cong C'D $, quindi $ CI \perp ED $ per un teorema delle corde. Se $ DD' \parallel CI $, allora $ ED \perp DD' $, quindi $ EDD' $ è retto in $ D $ e quindi $ ED' $ è diametro di $ \Gamma $.
Ripetendo i passaggi per i punti $ A $ e $ B $, si trova che anche $ FE' $ e $ DF' $ sono diametri di $ \Gamma $, per cui i tre segmenti $ ED' $, $ FE' $, $ DF' $ concorrono in $ I $.
Sapendo che $ DF' $ e $ D'E $ sono diametri, allora $ EDD'F' $ è un rettangolo, per cui $ ED \cong F'D' $. Ripetendo i passaggi per $ ED' $ e $ FE' $ e per $ DF' $e $ FE' $, si trova che$ DF \cong F'E' $ e $ EF \cong E'D' $. Pertanto $ DEF \cong D'E'F' $.
Considerando il punto $ C $:
Sia $ C' $ il punto d'intersezione tra $ CI $ e $ DE $. $ CEC' \cong CDC' $, perché hanno $ CC' $ in comune, $ CE\cong CD $ per il teorema delle tangenti, gli angoli compresi congruenti perché $ CI $ è bisettrice di $ \widehat C $. In particolare $ EC' \cong C'D $, quindi $ CI \perp ED $ per un teorema delle corde. Se $ DD' \parallel CI $, allora $ ED \perp DD' $, quindi $ EDD' $ è retto in $ D $ e quindi $ ED' $ è diametro di $ \Gamma $.
Ripetendo i passaggi per i punti $ A $ e $ B $, si trova che anche $ FE' $ e $ DF' $ sono diametri di $ \Gamma $, per cui i tre segmenti $ ED' $, $ FE' $, $ DF' $ concorrono in $ I $.
Sapendo che $ DF' $ e $ D'E $ sono diametri, allora $ EDD'F' $ è un rettangolo, per cui $ ED \cong F'D' $. Ripetendo i passaggi per $ ED' $ e $ FE' $ e per $ DF' $e $ FE' $, si trova che$ DF \cong F'E' $ e $ EF \cong E'D' $. Pertanto $ DEF \cong D'E'F' $.
[math]