Dopo secoli di inattività su questo forum, torno a farmi vivo. Salve
Consideriamo il polinomio:
$$ p(x) = x^4 + x^6 + \ldots + x^{204} = \frac{x^{206}-x^4}{x^2-1}. $$
Cosa accade derivando quattro volte $p(x)$, valutando l'espressione ottenuta in $1$ e dividendo per $24$? Beh, che otteniamo proprio la nostra somma.
Dato che $p(x)=q(x^2)$, dove $q(x)=\frac{x^{103}-x^2}{x-1}$, e che:
$$ \frac{d^4}{dx^4} q(x^2) = 12\cdot q^{(2)}(x^2) + 48\cdot x^2 q^{(3)}(x^2) + 16\cdot x^4 q^{(4)}(x^2) $$
per la regola di derivazione di funzioni composte ripetutamente applicata con grande pazienza, quello che ci occorre e basta sapere sono la derivata seconda, terza e quarta di $q(x)$ nel punto $x=1$. Per comodità, scriviamo:
$$ q(x) = \frac{x^{103}-1}{x-1}-\frac{x^2-1}{x-1} = \frac{x^{103}-1}{x-1}-(x+1). $$
Scrivendo ora $x$ come $1+(x-1)$, abbiamo che vale l'identità:
$$ q(x) = -(x+1) + \sum_{j=0}^{102}\binom{103}{j+1}(x-1)^{j}, $$
che ci comunica immediatamente quali sono i valori della derivata seconda, terza e quarta di $q(x)$ nel punto $x=1$: questi sono, rispettivamente, $2\cdot\binom{103}{3},6\cdot\binom{103}{4},24\cdot\binom{103}{5}$. Ricomponendo i pezzi abbiamo allora che la somma di partenza vale:
$$\binom{103}{3}+12\cdot\binom{103}{4}+16\cdot\binom{103}{5} = (1+12\cdot 25+16\cdot 495)\binom{103}{3}=8221\binom{103}{3}, $$
le cui ultime $4$ cifre decimali (ammesso che non mi sia
impegolato da qualche parte) sono $2071$.