69. Problema spagnolo

[andrew24x]

Sia data una circonferenza $\gamma$ e tre punti su di essa: $A$ e $B$ fissi e $P$ variabile. Sia data anche una retta $r$ fissa. Sia $C=PA \cap r$ e $D=PB \cap r$. Determinare due punti fissi su $r$, $M$ e $N$, tali che il prodotto $CM \cdot DN$ sia costante al variare di $P$.

[Francesco Sala]

Supponiamo che le parallele a $ r $ per $ A, B $ intersechino la circonferenza in $ R, S $ rispettivamente e che $ M=SA\cap r $ e $ N=RB\cap r $. Allora se $ X=PA\cap BS $ e $ Y=PB\cap AR $, i triangoli $ CMA $ e $ PBX $ sono simili (per ovvio calcolo con gli angoli), da cui $ CM=\frac{PX\cdot MA}{PB} $; in maniera del tutto simmetrica, vale $ DN=\frac{PY\cdot NB}{PA} $. Per Talete vale $ \frac{PX}{PA}=\frac{PB}{PY} $ e quindi $ CM\cdot DN=MA\cdot NB $ che è costante.

[andrew24x]

Ottimo! In effetti non sono riuscito a trovarne uno molto difficile, procedi pure col successivo