Dopo aver a lungo meditato, propongo il nuovo probema della staffetta:
Sia $ ABC $ un triangolo e $ P,P' $ due punti coniugati isogonali al suo interno. Siano $ A_1,B_1,C_1 $ le proiezioni di $ P $ sui lati $ BC,CA,AB $ e $ A_2,B_2,C_2 $ le seconde intersezioni del cerchio $ \odot(A_1B_1C_1) $ rispettivamente con i cerchi $ \odot(A_1PP') $ e ciclici.
Dimostrare che le rette $ AA_2,BB_2,CC_2 $ concorrono.
74. Isogonalità e concorrenze
Re: 74. Isogonalità e concorrenze
Edit: ora mi funziona, non so cosa avessi fatto...
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
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Francesco Sala
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- Iscritto il: 13 ago 2012, 21:16
Re: 74. Isogonalità e concorrenze
Per non ripetere l'esperienza del problema 61, mi sento di intervenire per ridestare l'interesse su questo esercizio.
Chi volesse risolverlo, potrebbe pensare la seguente cosa:
Dopo avere pensato la tal cosa, la strada per la soluzione è in discesa.
Chi volesse risolverlo, potrebbe pensare la seguente cosa:
Testo nascosto:
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Francesco Sala
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Re: 74. Isogonalità e concorrenze
Dopo altri dieci giorni, riconosco che il problema non deve aver destato interesse. Per chi fosse interessato, di seguito riporto come si può concludere a partire da quanto ho già scritto.
Per dimostrare che dato $ Q $ arbitrario su $ PO $ (dove $ O $ è il circocentro di $ A_1B_1C_1 $) le rette $ AA_2 $ e cicliche concorrono (con $ A_2 $ e ciclici definiti come nel testo, sostituendo $ Q $ a $ P' $), si può invertire in $ P $. Prendendo come triangolo referenziale quello con vertici le immagini di $ A_1,B_1,C_1 $, $ ABC $ diviene il triangolo pedale di $ P $ e $ A_2B_2C_2 $ il triangolo circumceviano di $ Q $ (tutto ciò rispetto alla figura invertita, ovviamente); l'ipotesi che la retta $ PQ $ passa per il circocentro di $ A_1B_1C_1 $ viene mantenuta e la tesi è: i cerchi $ \odot(APA_2) $ e ciclici sono coassiali. Il problema nella sua nuova forma è stato trattato nelle lezioni del Senior, come ho scritto sopra.
Per dimostrare che dato $ Q $ arbitrario su $ PO $ (dove $ O $ è il circocentro di $ A_1B_1C_1 $) le rette $ AA_2 $ e cicliche concorrono (con $ A_2 $ e ciclici definiti come nel testo, sostituendo $ Q $ a $ P' $), si può invertire in $ P $. Prendendo come triangolo referenziale quello con vertici le immagini di $ A_1,B_1,C_1 $, $ ABC $ diviene il triangolo pedale di $ P $ e $ A_2B_2C_2 $ il triangolo circumceviano di $ Q $ (tutto ciò rispetto alla figura invertita, ovviamente); l'ipotesi che la retta $ PQ $ passa per il circocentro di $ A_1B_1C_1 $ viene mantenuta e la tesi è: i cerchi $ \odot(APA_2) $ e ciclici sono coassiali. Il problema nella sua nuova forma è stato trattato nelle lezioni del Senior, come ho scritto sopra.